Question

$\texttt{(50 PONTOS) Uma fun\c{c}\~ao f \'e dita homog\^enea de grau n se satisfaz a}\\ \texttt{equa\c{c}\~ao }\mathtt{f(tx,\,ty)=t^n\cdot f(x,\,y)}\texttt{ para todo valor de t, onde n \'e um}\\ \texttt{inteiro positivo e f tem segunda derivada parcial cont\'inua.}\\\\ \texttt{(a) Verifique que }\mathtt{f(x,\,y)=x^2 y+2xy^2+5y^3}\texttt{ \'e homog\^enea de grau 3.}\\\\ \texttt{(b) Mostre que se f \'e homog\^enea de grau n, ent\~ao}\\\\ \mathtt{x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y\dfrac{\partial f}{\partial y}=n\cdot f(x,\,y)}\\\\ \texttt{[Dica: Utilize a Regra da Cadeia para derivar f(tx,\,ty) com}\\ \texttt{rela\c{c}\~ao a t.]}$

Answer 1

Bom dia Lucas! 

Solução!

Vamos verificar se a função é homogênea de grau 3,baseado na condição.

$f(tx,ty)=t^{n}.f(x,y)$

$f(x,y)= x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3}\\\\\\ f(tx,ty)=(xt)^{2}.(yt)+2(xt).(yt)^{2}+5(yt)^{3}\\\\\\\ f(xt,ty)=( x^{2}.t^{2}.yt)+2(xt).(y^{2} t^{2})+5(y^{3}t^{3})\\\\\\ f(xt,ty)=( x^{2}yt^{3}+2xy^{2} t^{3}+5y^{3}t^{3})\\\\\\\ Colocando~~t~~em~~evid\^encia!\\\\\\\\\\ \boxed{f(xt,ty)=t^{3} ( x^{2}y+2xy^{2} +5y^{3} )} \\\\\\\ Verificado~~a~~ func\~ao~~e~~ homog\^enia~~de~~grau~~3$



Teorema de Euler para funções homogêneas!

Seja a função homogênea que pode ser escrita assim:

$f:R^{n}\rightarrow R\\\\\\ homog\^enia ~~de~~ grau~~ p.Ent\~ao\\\\\\ f(t x_{1},........tx_{2}= \lambda^{k}( x_{1},......... x_{2})~~ \forall \lambda \in\mathbb{R}$

Demonstração!

$Derivando~~ a ~~func\~ao ~~em ~~ordem ~~ a ~~\lambda ~~temos:$


$\displaystyle \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial(\lambda x_{i}) } x_{i}=p\lambda^{(p-1)} f( x_{1},......... x_{n})$

Como essa relação é valida para qualquer $\lambda$ real ,se $\lambda=1$ resulta 
 
$\displaystyle \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial( x_{i}) } x_{i}=p} f( x_{1},......... x_{n})$

Esta demonstrado o teorema de Euler,verificar  sua homogeinidade que é a segunda questão.

B)

$x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y \dfrac{\partial f}{\partial y}=n~f(x,y)$

Para provar a homogeneidade vemos derivar em ordem de $x_{j}$ a expressão acima,observando que a soma das derivadas parciais estão compactadas representadas pelo somatório.

$\dfrac{\partial}{\partial x_{j} }\displaystyle\sum^{1}_{i=1} \frac{\partial f}{\partial x_{i} } x_{i}=p \frac{\partial}{\partial x_{j} }f( x_{1},.........., x_{n})\\\\\\\\ \dfrac{\partial}{\partial x_{j} }+ x_{j}+ \dfrac{\partial^{2} }{\partial x^{2} _{j} }+\displaystyle\sum^{n}_{i=1} \frac{\partial^{2}f }{\partial x_{i}\partial x_{j}} x_{i}$


$x_{j} \dfrac{\partial^{2} }{\partial x^{2} _{j} } + \displaystyle\sum^{n}_{i=1} \frac{\partial^{2}f }{\partial x_{i}\partial x_{j}} x_{i}=(p-1) \frac{\partial f}{\partial x_{j} } \\\\\\\\\ x_{j} \frac{\partial}{\partial x_{j} } \frac{\partial f}{\partial x_{j} }+ \displaystyle \sum^{n}_{n=1} \frac{\partial}{\partial x_{i} } \frac{\partial f}{\partial x_{j} } x_{i} =(p-1) \dfrac{\partial f}{\partial x_{j} }$


$\boxed{\displaystyle \sum^{n}_{n=1} \frac{\partial}{\partial x_{i} } \frac{\partial f}{\partial x_{j} } x_{i} =(p-1) \dfrac{\partial f}{\partial x_{j} }}$


Conclusão!
Essa é a expressão do teorema de Euler para função $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j} }$, portanto pode-se concluir que se $f$ é homogênea  de grau $p$,suas primeiras derivadas são homogêneas de grau $(p-1)$

Vamos um pouco mais longe,apliquemos o teorema na questão acima para determinar sua veracidade.
 
$f(x,y)= x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3}\\\\\\ Derivando~~em relac\~ao~~a~~x\\\\\\ f(x)=2xy+2y^{2}\\\\\\ Derivando~~em relac\~ao~~a~~y\\\\\\ f(y)= x^{2} +4xy+15 y^{2}\\\\\\\\ Veja!\\\\\\ x\dfrac{\partial f}{\partial x}+y \dfrac{\partial f}{\partial y}=p.f(x,y)\\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial x}=2xy+2y^{2}\\\\\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}=2xy+2y^{2}\\\\\\\\ x(2xy+2y^{2})+y(x^{2} +4xy+15 y^{2} )=3( x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3})$



$(2 x^{2}y+2xy^{2}+y x^{2} +4xy^{2}+15^{3)}=3(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3})\\\\\\\ (3 x^{2} y+6xy^{2}+15y^{3})=3(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3} )\\\\\\\ \dfrac{(3 x^{2} y+6xy^{2}+15y^{3})}{3}=(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3} )\\\\\\\\ 3 \dfrac{(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3})}{3}=(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3} )\\\\\\\\ (x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3})=(x^{2} y+2xy^{2}+5y^{3} )$