Question

$\textsf{\'E dada uma folha igual a da imagem \underline{em anexo}, ao cortarmos essa folha}\\\textsf{na linha pontilhada obteremos um ret\^angulo. Descubra a medida dos l\underline{a}}\\\textsf{dos desse ret\^angulo sabendo que sua \'area \'e m\'axima.}$

Answer 1

Vamos considerar o comprimento do retângulo como "y" e a sua largura como "x"

=> 1ª noção a entender:

....Pela semelhança entre triângulos é possível obter a relação:

y/8 = (6 - x)/6

..resolvendo em ordem a "y" teremos:

y = 8 . (6 - x)/6

...simplificando ....mdc (6,8) = 2

y = 4 . (6 - x)/3 <-- encontramos o valor de "y"

Sabemos que a área será definida por uma função de "x" (função quadrática) ..A(x) = x . y

substituindo "y" ..pela expressão encontrada para o seu valor teremos:

A(x) = x . [4 . (6 - x)/3]

A(x) = 4x . (6 - x)/3

A(x) = (24x - x²)/3

...como x1 = 0 ..e x2 = 6

Estas são as raízes da equação ...mas para a área ser máxima o valor de "x" tem de ser o do vértice da parábola!

...note que estes 2 valores estão equidistante do eixo de simetria da parábola ...logo o "x" do vértice ..será o "x" do ponto médio
...ou seja:
 
x = (0 + 6)/2 = 3 <-- valor de "x"

conhecido o valor de "x" vamos substituí-lo na expressão inicial em que definimos o valor de "y" ..assim:

y = 4 . (6 - x)/3

y = 4 . (6 - 3)/3

y = 4 . (3)/3

y = 12/3

y = 4 <--- valor de "y" (comprimento)


.......

Pequena demonstração:

Em qualquer triangulo retângulo de catetos "a" e "b" ..o retângulo inscrito de comprimento "y" e largura "x" terá a maior área possível é o que terá a sua "base" = b/2 ..e a sua altura = a/2.

Vamos voltar á sua figura e atribuir a designação de cateto "a" ao cateto que mede 6 unidades e de cateto "b" ao cateto que mede 8 unidades

assim a relação de semelhança seria dada por:

y/b = (a - x)/a

..resolvendo em ordem a "y"

y = b . (a - x)/a

sendo A(x) = x . y teríamos:

A(x) = x . [b . (a - x)/a]

A(x) = x . (ba - bx)/a

A(x) = (xba – bx²)/a

A(x) = (xba/a) – (bx²/a)

A(x) = (xb) – (bx²/a)

Derivando…

A(x) = (b) – (2bx/a)

…igualando a “zero”

(b) – (2bx/a) = 0

 – 2bx/a = - b

– 2bx = - b.a

x = (- b.a)/(-2b)

x = a/2 <--- valor de "x"

voltando a

 y = b . (a - x)/a

y = (ba – b x)/a

y = (ba/a) – (bx/a)

y = b – bx/a

y = b(1 – x/a)

 substituindo “x” por “a/2”

 y = b[1 – (a/2)/a]

y = b(1 – a/2a)

y = b(1 – 1/2)

y = b . 1/2

y = b/2 <---valor de "y"

Espero ter ajudado