Question

$\text{Mostre que:} \\ \lim_{x\rightarrow 4} \left ( \dfrac{1+x}{5} \right )^{\dfrac{1}{x-4}}=\sqrt[5]{e}$

Answer 1

Explicação passo a passo:

Cálculo de limites exponenciais.

Para a resolução desta tarefa, utilizaremos o seguinte resultado para o limite exponencial fundamental:

    $\displaystyle\lim_{u\to\pm\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}=e\qquad\mathrm{(i)}$

De posse desta informação, mostrar que

    $\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}.$

Tomemos o limite:

    $\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}$

Reescreva $1+x=5+(x-4),$ e separe as frações:

    $\displaystyle=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5+(x-4)}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{5}{5}+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\\\\\\\\=\lim_{x\to 4}\left(1+\frac{x-4}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}\qquad\mathrm{(ii)}$

Faça a seguinte mudança de variável:

    $\dfrac{5}{x-4}=u\quad\Longrightarrow\quad\left\{\begin{array}{l}\dfrac{1}{x-4}=\dfrac{u}{5}\\\\ \dfrac{x-4}{5}=\dfrac{1}{u}\end{array}\right.$

Analisando o comportamento da nova variável u, quando x tende a 4:

• Quando $x\to 4^-\quad\Longrightarrow\quad u\to -\infty.$
• Quando $x\to 4^+\quad\Longrightarrow\quad u\to +\infty.$

Analisando os limites laterais:

• Para x tendendo a 4 pela esquerda, o limite (ii) fica:

    $\displaystyle=\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to -\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to -\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iii)}$

• De forma análoga, para x tendendo a 4 pela direita, o limite (ii) fica

    $\displaystyle=\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\dfrac{u}{5}}\\\\\\=\lim_{u\to +\infty}\left[\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=\left[\lim_{u\to +\infty}\left(1+\dfrac{1}{u}\right)^{\!u}\right]^{1/5}\\\\\\=e^{1/5}\\\\=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}\qquad \mathrm{(iv)}$

Os limites laterais convergem para o mesmo valor. Portanto, por (iii) e (iv) concluimos que

   

    $\displaystyle\lim_{x\to 4}\left(\dfrac{1+x}{5}\right)^{\dfrac{1}{x-4}}=\,^5\!\!\!\!\sqrt{e}$

como queríamos.

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Bons estudos!