Question

$\sqrt{5- \sqrt{5-x} } = x, com x \ \textgreater \ 0$

Answer 1

Ola Mirela

√(5 - √(5 - x)) = x

5 - √(5 - x) = x² 

√(5 - x) = 5 - x² 

5 - x = 25 - 10x² + x⁴ 

x⁴ - 10x² + x + 20 = 0 

fazendo 20 = (-4)*(-5)

(x² - ax  - 4)*(x² - bx - 5) = 0

x⁴ - bx³ - 5x² - ax³ + abx² + 5ax - 4x² + 4bx + 20 = 0

-a - b = 0
5a + 4b = 1
ab - 5 - 4 = -10 
-5a - 5b = 0

b = -1
a = 1

então

x⁴ - 10x² + x + 20 = (x² - x - 4)*(x² + x - 5) = 0

(x² - x - 4) = 0

delta
d² = 1 + 16 = 17
d = √17

x1 = (1 + √17)/2
x2 = (1 - √17)/2 

(x² + x - 5) = 0

delta
d² = 1 + 20 = 21
d = √21

x3 = (-1 + √21)/2
x4 = (-1 - √21)/2 

apos verificação temos só uma solução 
x = (-1 + √21)/2

Answer 2

Seja √(5-x) = y , então √(5 - y) = x , quadrando as equações:
y² = 5 - x
x² = 5 - y
Subtraindo, membro a membro:
y² - x² = 5-x -(5 - y) => y² - x² = y - x => (y + x) ( y - x) = y - x
Não podemos dividir por y - x, pois corremos o risco de dividir por 0.
(y + x) (y - x) - (y - x) = 0
(y - x)[y + x - 1] = 0 => x - y = 0 => x = y ou y + x - 1= 0 => y = 1 - x
P/ y = x => x² = 5 - x => x² + x - 5 = 0
Δ = 1 + 20 = 21 => x = (-1 - √21)/2 ( Não serve, pois x > 0)
x = ( -1 + √21)/2 = (√21 - 1)/2
p/ y = 1 - x => x² = 5 -( 1 - x) => x² = 4 + x => x² - x - 4 = 0
Δ = 1 + 16 = 17 => x = (1-√17)/2 (Não serve, pois x > 0 )
ou x = (1 + √17)/2
Como se trata de equação irracional é preciso verificar. Verificando as duas possíves raízes, só é válida  x = (√21 - 1) /2