Question

$\sqrt[4]{5} .\sqrt{5} .\sqrt[4]{5} .\sqrt[3]{5}$

Answer 1

Vamos là.

⁴√5 * √5 * ⁴√5 * ³√5

por parte

⁴√5 = 5^(1/4)

√5 = 5^(1/2)

⁴√5 = 5^(1/4)

³√5 = 5^(1/3)

pede a base 5 e some os exponentes

5^(1/4 + 1/2 + 1/4 + 1/3) = 5^(4/3)

Answer 2

Resposta:

$\green{5 \sqrt[3]{5} }$

ou

$\green{5 \ \times \ {5}^{\frac{1}{3}} }$

Explicação passo-a-passo:

$\sqrt[4]{5} .\sqrt{5} .\sqrt[4]{5} .\sqrt[3]{5}$

A primeira coisa que vamos fazer nessa conta, será deixar todas as raízes com o mesmo índice :

$\sqrt[indice]{ {?}^{expoente} }$

Para isto, podemos fazer o MMC dos índices :

4, 4, 3 | 2

2, 2, 3 | 2

1, 1, 3 | 3

1, 1, 1 |

Multiplicamos tudo :

2 . 2 . 3 = 12

Então vamos deixar todos os índices com 12

Para isto, vamos multiplicar o expoente e o índice pelo mesmo número :

$\sqrt[4 \: \times 3]{ {5}^{1 \: \times 3} } \: = \: \sqrt[ \pink{12}]{ {5}^{3} }$

$\sqrt[2 \: \times 6]{ {5}^{1 \: \times 6} } \: = \: \sqrt[ \pink{12}]{ {5}^{6} }$

$\sqrt[4 \: \times 3]{ {5}^{1 \: \times 3} } \: = \: \sqrt[ \pink{12}]{ {5}^{3} }$

$\sqrt[3 \: \times 4]{ {5}^{1 \: \times 4} } \: = \: \sqrt[ \pink{12}]{ {5}^{4} }$

Agora como todas as raízes possuem o mesmo expoente, vamos colocar todos os 5 dentro de uma raiz com índice 12 :

$\sqrt[12]{ {5}^{3} \: . \: {5}^{6} \: . \: {5}^{3} \: . \: {5}^{4} }$

Agora temos uma multiplicação com 5, ou seja, multiplicação de mesma base

Então vamos manter a base e somar os expoentes

${base}^{expoente}$

${5}^{3 \: + \: 6 \: + \: 3 \: + \: 4} \: = \: {5}^{ \pink{16}}$

$\sqrt[12]{ {5}^{16} }$

Agora podemos simplificar o índice e a raiz por 4 :

$\sqrt[12 \: \div 4]{ {5}^{16 \: \div 4} } \: = \: \blue{ \sqrt[3]{ {5}^{4} } }$

Podemos representar...

$\sqrt[3]{5 \: . \: 5 \: . \: 5 \: . \: 5}$

Como o índice é 3 então para tirar um número da raiz, temos que ter o expoente 3 :

5 . 5 . 5 = 5³

$\sqrt[ \red3]{ {5}^{ \red3} \: . \: 5}$

$\green{5 \sqrt[3]{5} }$

Também podemos representar assim...

$\sqrt[3]{ {5}^{4}} \ = \ {5}^{\frac{4}{3}}$

Porém, como temos...

$5 \sqrt[3]{5}$

seria então...

$\green{5 \ \times \ {5}^{\frac{1}{3} }}$