Question

$\sqrt{2x {}^{2} + 3} - \sqrt{2x {}^{2} + x}$
Preciso de ajuda a calcular esse limite, ele tende para infinito ​

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo do Limite

Temos que determinar :

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} (\sf{\sqrt{ 2x^2+3 } - \sqrt{2x^2 + x} })$

Então ao efectuar a substituição veremos que :

$\iff \displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{(\sqrt{ 2x^2+3 } - \sqrt{2x^2 + x})~=~ \infty - \infty }$

Então para levantar está indeterminação vamos multiplicar a função pelo seu conjugado :

$\iff \sf{ L ~=~ }~\displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{\dfrac{ ( \sqrt{2x^2 + 3} - \sqrt{2x^2 + x}) (\red{ \sqrt{2x^2+3} + \sqrt{2x^2 + x} }) }{ ( \red{ \sqrt{2x^2+3} + \sqrt{2x^2 + x} }) } }$

Perceba que no numerador temos a diferença entre dois quadrados: $\sf{ (a - b)(a + b)~=~ a^2 - b^2 }$. Então :

$\iff \sf{L~=~ }~ \displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{ \dfrac{ (\sqrt{2x^2+3})^2 - (\sqrt{2x^2+x})^2 }{ \sqrt{ x^2\Big( 2 + \frac{3}{x^2} \Big) } + \sqrt{x^2\Big(2 + \frac{1}{x}\Big)} } }$

$\iff \sf{L~=~ }~\displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{ \dfrac{\cancel{2x^2} + 3 \cancel{- 2x^2} - x }{ x\sqrt{2 + 0} + x\sqrt{2 + 0} } }~=~\displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{ \dfrac{3 - x}{x( \sqrt{2} + \sqrt{2})} }$

$\iff \sf{L~=~ }~\displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{ \dfrac{\cancel{ x}\Big( \frac{3}{x} - 1 \Big) }{\cancel{x}(2\sqrt{2})} }$

$\iff \sf{L~=~ } ~\displaystyle\lim_{x \to \infty} \sf{ \dfrac{0 - 1}{2\sqrt{2}} }$

$\green{ \iff \boxed{ \boxed{ \sf{ L~=~ -\dfrac{1}{2\sqrt{2}} } \sf{ \longleftarrow Resposta } } } }$

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Espero ter ajudado bastante!)

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