Question

$\sqrt[25]{512} = \sqrt[3]{2}^{x}$
determine o valor de x em cada caso ​

Answer 1

Resposta:

$x=\frac{27}{25}$

Explicação passo-a-passo:

Como é uma igualdade, o resultado de um lado tem que ser igual ao do outro lado. Porém, para descobrir o x, precisamos transformar os números, em bases iguais porém com o mesmo valor, para poder aplicar uma propriedade e resolvera a questão. Isso é muito importante, podemos alterar a forma do número sem alterar o seu valor. Veja:

512 é a mesma coisa que $2^{9}$, os dois tem o mesmo valor, então, como queremos bases iguais dos dois lados, vamos substituir o 512 por

Então substituindo fica assim:

$\sqrt[25]{2^{9} } =\sqrt[3]{2^{x} }$

Como eu disse, ainda não é suficiente pois ainda não temos bases iguais. Para isso, precisamos sumir com essas raízes, porém, sem alterar o valor, então vamos apenas transformar a forma do número.

Para transformar a forma deles podemos usar o seguinte macete: quem tá no "sol" vai pra "sombra" e quem tá na "sombra" vai pro "sol" kk. Vamos ver como isso se aplica na questão:

Digamos que as raízes sejam uma "tenda"... sim, e ela tá protegendo os números de dentro, do sol, como um guarda sol. Aplicando o macete, quem tá no sol do outro lado é o 25, e do outro lado é o 3; e quem tá na sombra de um lado é o "9" e do outro o "x". Transformando, fica assim:

$2^{\frac{9}{25} } = 2^{\frac{x}{3} }$

Veja, o 25 e o 3 estão ali de boa na sombra agora, e os outros no sol xD. Agora temos bases iguais, o número 2, que são os números grandões. Agora a gente pode aplicar a propriedade, se os dois números são iguais, então os expoentes (os númeroszinhos em cima) deles tem que ser iguais também. Então igualamos eles:

$\frac{9}{25} = \frac{x}{3}$

Multiplicando cruzado, em forma de "x", fica assim:

25.x = 9.3

25x = 27

Para descobrir o x, é só isolar ele, deixando ele sozinho de um lado e, para isso, temos que mudar o 25 de lado. Quando ele muda de lado, ele inverte sua operação, se de um lado ele tava multiplicando o "x", do outro ele vai dividir o 27, ficando assim:

$x=\frac{27}{25}$

Espero ter ajudado, abraços