Question

$\sf Resolva:$

$\begin{gathered}\large\begin{array}{l} \mathsf{\displaystyle \green{\int(3- x) ^{10} \,dx}} \end{array}\end{gathered}$​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \red{\bullet }\sf \int(3 - x) {}^{10} \: dx \: \: \red{\bullet }$

Para resolver esse problema, vamos ultilizar o método da substituição de variável, que como o próprio nome diz, faz-se uma pequena alteração na integral, de forma que facilite a resolução por técnicas mais simples. Inicialmente vamos dizer que: $\sf u= 3-x$, derivando:

$\sf u = 3 - x \: \to \: \sf \frac{du}{dx} = - 1 \: \to \: dx = - du$

Substituindo essas informações:

$\sf \int (3 - x) {}^{10} dx = \int (u) {}^{10}. ( - 1) \: du \\ \\ \boxed{ \sf - \int (u) {}^{10} \: du}$

Resolvendo pelo regra da potência de integrais:

$\sf - \int (u) {}^{10} du = - \frac{u {}^{10 + 1} }{10 + 1} + k \\ \\ \sf - \frac{u {}^{11} }{11} + k, \: \: mas \: u = 3 - x \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{\sf - \frac{(3 - x) {}^{11} }{11} + k}}}$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta correta:

$~~{\because~~\boxed{\boxed{\begin{array}{lr}\red{~- \frac{(3 - x)^{11} }{11} + C~}\end{array}}}}$

$~$

$\bf\large\gray{\underline{\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}$

$~~~~~~\huge\mid{\boxed{\bf{\blue{Matem\acute{a}tica}}}\mid}$

$~$

Solução passo a passo

$\large\underline{ \overline{\boxed{\begin{array}{clr}\\ \displaystyle{ \begin{gathered}\large\begin{array}{l} \mathsf{\displaystyle{\int(3- x) ^{10} \,dx}} \end{array}\end{gathered} }\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \end{array}}}}$

Vamos começar substituindo por:$~ \displaystyle\begin{aligned}u = 3 - x \rightarrow \frac{du}{dx}= - 1 \\ \rightarrow dx = - du\end{aligned}$

• Usando$~\displaystyle\begin{aligned}~u~\end{aligned}~$e$~\displaystyle\begin{aligned}~du~\end{aligned}~$acima, vamos reescrever-transformar o integral da questão$~\displaystyle{\int(3- x) ^{10} \,dx}$.

$\large\gray{~~~~\downarrow}~~~ \displaystyle\begin{aligned}\int - u^{10} \,du\end{aligned} \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle{\int (3 - x)^{10} \,dx} \\ \\ \displaystyle{\int (3 - x)^{10} \times \frac{1}{ - 1} \,du} \\ \\ \displaystyle{\int (3 - x)^{10} \times (- 1) \,du} \\ \\ \displaystyle{\int - (3 - x)^{10} \times 1 \,du}\\ \\ ~~\displaystyle{= \int - u^{10} \,du~~} \\ \end{array}\right.$

• Agora vamos aplicar regra de potência:$\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int x^{n} \,dx = \frac{x^{n + 1} }{n + 1} + C\end{aligned} }$

$\large\gray{~~~~\downarrow}~~~\displaystyle\text{ \begin{aligned}- \frac{u^{11} }{11} \end{aligned} } \left\{\begin{array}{ll}\displaystyle{- \int u^{10} \,du} \\ \\ \displaystyle{- \frac{u^{10 + 1} }{10 + 1} }\\ \\ ~~\displaystyle{= - \frac{u^{11} }{11} ~~} \\ \end{array}\right.$

Desfazendo a substituição$~\displaystyle\begin{aligned} ~u = 3 - x \end{aligned}~$ ao integral original da questão

$\large\gray{~~~~\downarrow}~~~ =\displaystyle\text{ \begin{aligned} - \frac{(3 - x) ^{11} }{11} \end{aligned} }$

Solução:

$~~{\therefore~~\boxed{\boxed{\begin{array}{lr}\red{~- \frac{(3 - x)^{11} }{11} + C~}\end{array}}}}$

$~$

$\: \: \: \text{\underline{Att.}}$

${\huge\boxed { {\bf{M}}}\boxed { \red {\bf{y}}} \boxed { \blue {\bf{t}}} \boxed { \gray{\bf{h}}} \boxed { \red {\bf{}}} \boxed { \orange {\bf{P}}} \boxed {\bf{i}}}$

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Veja mais em:

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${~~\vdots~~~\large\boxed {\boxed{21:08h}~30.09.21}}$

$\bf\large\gray{\underline{\qquad \qquad\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}$