Question

$Sem \ desenvolver \ , \ demonstre \ que \ : \\ \\ \\ \begin{vmatrix} cos \ 0 & cos \ a & cos \ 2a \\ cos \ a & cos \ 2a & cos \ 3a \\ cos \ 2a & cos \ 3a & cos \ 4a \end{vmatrix} \ = \ 0$

Answer 1

Vou digitar  por aqui, sem as semi-retas verticais de determinante, ok?
A questão dada deveria impor a condição de que a ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z, pois se
a = π/2 + kπ, teríamos uma fila iguais a zero, até mais,  o suficiente para que o determinante seja nulo.
Seja D o determinante. Devemos mostrar que D = 0

       cos 0    cosa      cos2a
D = cosa     cos2a    cos3a       ( I)
       cos2a   cos3a    cos4a

Somando a 1ª e a última colunas à 2ª coluna.
  
        cos0         ( cosa + cos0 + cos2a)       cos2a
D =  cosa         (cos2a + cosa + cos3a)      cos3a
        cos2a      (cos3a + cos2a + cos4a)     cos4a

Transformando em produto as duas últimas parcelas da 2ª coluna.

cosp + cosq = 2cos(p+q)/2 .cos(p - q)/2
cos2a + cos0 = 2cos(2a + 0)/2 cos(2a - 0)/2 = 2cos²a
cos3a + cosa = 2cos(3a + a)/2 cos(3a - a)/2 = 2cos2a cosa
cos4a + cos2a = 2cos(4a + cos2a) cos(4a - 2a)/2 = 2cos3a cos a

         cos0          cosa   +     2cos²a             cos2a
D =   cosa          cos2a + 2cos2a cosa        cos3a
         cos2a        cos3a + 2cos3a cosa        cos4a  
   
        cos0          cosa (1 + 2cosa)       cos2a
D =  cosa          cos2a(1 + 2cosa)      cos3a
       cos2a         cos3a(1 + 2cosa)      cos4a

                            |    cos0      cosa      cos2a |
D = (1 + 2cosa) . |    cosa      cos2a    cos3a |      (II)
                            |    cos2a    cos3a    cos4a |
      
Substituindo I em II

D = (1 + 2cosa)D => D = D + 2Dcosa =>

2Dcosa = 0 => Dcosa = 0, Sendo a ≠ π/ + kπ , k ∈ Z, conclui-se que

D = 0