Matemática, perguntado por Usuário anônimo, 1 ano atrás

Seja \ z \ um \ n\acute{u}mero \ inteiro \ , \ expresso \ por \ : \\ \\<br />
z \ = \ (3)^x-(3)^y \\ \\<br />Sendo \ x \ e \ y \ n\acute{u}meros \ inteiros \ e \ postivos \ . \\ \\<br />
Quais \ rela\c{c}\tilde{o}es \ entre \ x \ e \ y \ devem \ ser \ satisfeitas \ para \ que \\<br />
z \ seja \ sempre \ n\acute{u}mero \ divis\acute{i}vel \ por \ 5 . <br />


Usuário anônimo: Da p/colocar imagens tbm
Usuário anônimo: vo dar uma olhada lá
Usuário anônimo: ta bom
Usuário anônimo: dificio ne
Usuário anônimo: E ai
superaks: Sua questão está incompleta Mariele e por isso foi apagada. Evite de fazer perguntas em outras tarefas, ok?
Usuário anônimo: entao n tem me ajudar
Usuário anônimo: Entao vou ao seu perfil
Usuário anônimo: ok
Usuário anônimo: oi

Soluções para a tarefa

Respondido por ArthurPDC
4
Manipulando a expressão dada:

<br />z=3^x-3^y\\\\<br />z=3^y(3^{x-y}-1)<br />

Considere x ≥ y e que d é a diferença x-y. Veja acima que z é igual ao produto de dois números: 3^y e 3^{x-y}-1=3^d-1. Como 5 divide z e não divide 3^y, podemos dizer que 5 divide 3^d-1. Isto é:

<br />3^d-1\equiv 0\pmod5\\\\<br />3^d\equiv1\pmod5<br />

Sabemos pelo enunciado que x e y são inteiros positivos e consideramos x≥y, logo d é um inteiro não negativo. Vamos analisar os restos deixados pelas potências naturais de 3 no módulo 5:

<br />3^0=1\equiv1\pmod5\\\\<br />3^1=3\equiv3\pmod5\\\\<br />3^2=9\equiv4\pmod5\\\\<br />3^3=27\equiv2\pmod5\\\\<br />3^4=81\equiv1\pmod5\\\vdots<br />

Note que os restos começam a se repetir. A cada 4 potências, o resto volta a ser o mesmo. Para o caso que queremos, que é 3^d\equiv1\pmod5, o expoente deve ser um múltiplo de 4 (veja acima que 3^0\equiv3^4\equiv...\equiv0\pmod5. Assim, podemos dizer que d=x-y é um múltiplo de 4, isto é, x-y=4k,~k(\geq0)\in\mathbb{Z} é a relação que queremos, para x ≥ y. Caso ache necessário, posso editar para tentar mostrar mais formalmente essa repetição dos restos das potências de 3 na divisão por 5 sem usar apenas da observação.

Agora, vejamos o caso y > x. Manipulando a expressão de forma parecida:

<br />z=3^x-3^y\\\\<br />z=3^x(1-3^{y-x})<br />

Seja d=y-x. Com a mesma observação sobre 5 dividir z, temos que 5 divide 1-3^{y-x}=1-3^d. Isto é:

<br />1-3^d\equiv0\pmod5\\\\<br />3^d\equiv1\pmod5

Que é a mesma condição pra d que encontramos antes. Assim, analogamente, encontraremos que y-x=4k,~k(&gt;0)\in\mathbb{Z}. Juntando as respostas dos dois casos, obtemos a condição final:

<br />\boxed{x-y=4k},~k\in\mathbb{Z}

Usuário anônimo: Muito boa a resposta =D parabéns
Usuário anônimo: vlw pela ajuda
superaks: nossa que bizarro, eu não fui notificado da resposta do Arthur.. ótima resposta btw!
ArthurPDC: De nada! Obrigado, pessoal!
Usuário anônimo: pd ajudar
Respondido por superaks
4
Olá Ludeen.



Organizando as informações:

\mathsf{z=3^x-3^y}~~~~~~~~~\mathsf{z\in\mathbb{Z}~~~~x~e~y\in\mathbb{N}}

Veja que o z é dado pela diferença de 2 números impares, portanto z é um número par. Isso porque o produto de x números impares sempre dará impar e a diferença entre 2 números impares sempre será par.

Demonstração:

O conjunto dos números impares é dado por \mathsf{2n+1} onde n pertence aos naturais:


\mathsf{2\cdot0+1=1}\\\mathsf{2\cdot1+1=3}\\\mathsf{2\cdot2+1=5}\\\mathsf{2\cdot3+1=7}\\\mathsf{...}


Já o conjunto dos números pares é também o conjunto dos múltiplos de 2:
\mathsf{2n}  onde n pertence aos naturais não nulos.


\mathsf{2\cdot1=2}\\\mathsf{2\cdot2=4}\\\mathsf{2\cdot3=6}\\\mathsf{2\cdot4=8}\\\mathsf{...}

No número z, o número impar (3) será multiplicado x vezes por ele mesmo e depois o outro número impar também (3), será multiplicado y vezes por ele mesmo e depois será feito a diferença entre eles:

\mathsf{z=\underbrace{\mathsf{3\cdot3\cdot3\cdot3...}}-~\underbrace{\mathsf{3\cdot3\cdot3\cdot3...}}}\\\mathsf{\qquad ~~~x~vezes\qquad~~~ y~vezes}

Agora veja o que acontece se multiplicarmos 2 números impares:

\mathsf{(2n+1)\cdot(2n'+1)~\Rightarrow~4n\cdot n'+2n+2n'+1~}\\\\\mathsf{~2\cdot\underbrace{\mathsf{(n\cdot n'+2n+n')}}+1~\Rightarrow~\boxed{\mathsf{2n''+1}}\gets N\'umer o~impar}\\\mathsf{\qquad\qquad~~ n''}

Agora veja o que acontece se tirarmos a diferença entre 2 impares:

\mathsf{2n+1-(2n'+1)~\Rightarrow~2n+1-2n'-1~\Rightarrow~2n-2n'}\\\\\mathsf{2\cdot\underbrace{\mathsf{(n-n')}}~\Rightarrow~\boxed{\mathsf{2n''}}\gets~N\'umero~par}\\\mathsf{\qquad~ n''}

Portanto z é par.

Más queremos que z seja um número divisível por 5, então ele deverá também ser um múltiplo de 2, pois como já sabemos, um número par também é múltiplo de 2.

Portanto deverá ser alem de múltiplo de 5 será um múltiplo de 10 \mathsf{(2\cdot5=10)}, ou seja, terminado em 0.


Agora vamos checar algumas potências de 3:


\mathsf{3^0=1}\\\mathsf{3^1=3}\\\mathsf{3^2=9}\\\mathsf{3^3=27}\\\mathsf{3^4=81}\\\mathsf{3^5=243}\\\mathsf{3^6=729}\\\mathsf{3^7=2.187}

Veja o que ocorre com a cada das unidades das potências de 3, ela seguem uma regularidade.

\mathsf{U_3=\{1,3,9,7\}}~~\gets~4~elementos

Acima temos então o conjunto das unidade da potência de 3 onde eles seguem exatamente aquela ordem. E por ter uma regularidade é possível saber a partir do expoente, qual unidade terá aquela potência de 3, veja:


Pegando o expoente 0, \mathsf{3^0=1}.  Se nós dividirmos um múltiplo de 4 por 4, evidentemente o resto será 0, e a partir do resto é possível encontrar o valor dos expoentes, veja:

\star~\mathsf{Unidades.}\\\\\mathsf{3^0=1}\\\mathsf{3^4=1}\\\\\mathsf{0\equiv4~mod(4)}\\\\\mathsf{Adicionando~uma~unidade~em~cada~expoente~o~resto~tamb\'em~\'e~somado.}\\\\\mathsf{3^1=3}\\\mathsf{3^5=3}\\\\\mathsf{1\equiv5~mod(4)}\\\\\mathsf{\underline{\qquad\qquad}}\\\\\mathsf{3^2=9}\\\mathsf{3^6=9}\\\\\mathsf{2\equiv6~mod(4)}\\\\\mathsf{\underline{\qquad\qquad}}\\\\\mathsf{3^3=7}\\\mathsf{3^7=7}\\\\\mathsf{3\equiv7~mod(4)}

Portanto os expoentes são equivalentes por deixar o mesmo resto.

Como queremos números múltiplos de 10, ou seja, terminados em 0, a diferença dos dois números devem resultar em uma unidade nula, ou seja, as unidades dos dois números devem ser igual.

\mathsf{a\cdot 10^2+b\cdot10^1+c-(k\cdot10^2+z\cdot 10^1+c)}\\\\\mathsf{10^2(a-k)+10^1(b-z)+\boxed{\mathsf{c-c}}~\gets~0}

Portanto, x e y deverá ser equivalentes como expoentes.

____________

Pelo algoritmo da divisão sabemos que o dividendo é igual ao produto do quociente mais o resto:

a  |_d_
r     q

\mathsf{a=qd+r}

Como vimos acima eles devem ser equivalentes, ou seja, terão a mesma unidade, portanto a partir dos restos podemos encontrar seus possíveis valores usando o algoritmo da divisão:

\mathsf{0\equiv4~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+0~~\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~~y=4q'+0}\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{1\equiv5~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+1\qquad\qquad~~e~~\qquad\qquad y=4q'+1}\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{2\equiv 6~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+2\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~y=4q'+2}\\\\\underline{\qquad\qquad\qquad}\\\\\mathsf{3\equiv 7~mod(4)}\\\\\mathsf{x=4q+3\qquad\qquad~e~\qquad\qquad~y=4q'+3}

Onde qq' é um número natural e o resto evidentemente será um valor positivo menor que 4 (já que um resto jamais pode ser maior ou igual que o divisor). 

\mathsf{r=\{0,1,2,3\}}


\boxed{\boxed{\mathsf{z=3^{4q+r}-3^{4q'+r}}}}


Dúvidas? comente.

Usuário anônimo: só não consegui utiliza o princípio da indução infinita muito bem para ver se isso seria para todos valores de '' n ''
superaks: você achou essa tarefa respondida? eu vou dar uma olhada no raciocínio do Arthur agora, mas se você achou outra resposta pra essa questão me manda por favor
Usuário anônimo: esse é o problema eu não achei kkk . A resposta lá tava sem resposta e eu custei a traduzir a pergunta
Usuário anônimo: mas vou dar uma olhada na internet para ver se eu acho
superaks: O que me fez conseguir ver uma resposta nessa tarefa foi ver que z era um número par, a partir dai é só dar uma olhada no resto da resposta que com certeza você entenderá o resto
superaks: mas caso surja alguma dúvida só avisar
Usuário anônimo: eu entendi o que você colocou lá , ficou muito boa sua resposta =D
ArthurPDC: Parabéns pela resposta!
superaks: Obrigado :^)
Usuário anônimo: oi
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