Question

$Seja \ z_k \ um \ n\acute{u}mero \ complexo \ , \ solu\c{c}\tilde{a}o \ da \ equa\c{c}\tilde{a}o \\ \\ (z+1)^5+z^5=0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k = 0,1,2,3,4 \\ \\ Qual \ das \ proposi\c{c}\tilde{o}es \ \acute{e} \ verdadeira ? \\ \\ a) Todos \ os \ z_k \ , \ k = 0,1, \ ... \ , 4 \ est\tilde{a}o \ sobre \ uma \ circunfer\hat{e}ncia. \\ \\ b) Todos \ os \ z_k \ est\tilde{a}o \ sobre \ uma \ reta \ paralela \ ao \ eixo \ imagin\acute{a}rio$

$c) A \ soma \ das \ ra\acute{i}zes \ da \ equa\c{c}\tilde{a}o \ \acute{e} \ diferente \ de \ zero.$

Answer 1

Seja Z = a + bi
(a + 1 + bi)⁵ + (a + bi)⁵ = 0
(a + 1 + bi)⁵ = -(1 + bi)⁵
|(a + 1 + bi)⁵| = |(-(a + bi)⁵|

$\sqrt{(a+1)^2+b^2} = \sqrt{a^2+b^2}$

$\sqrt{a^2+2a+1+b^2}= \sqrt{a^2+b^2}$

Logo 2a + 1 = 0 => a = -1/2

z₀ = -1/2,  Z₁ = -1/2, Z₂ = -1/2 , Z₃ = -1/2 e Z₄ = -1/2
Como todos Zk têm a mesma parte real, concluímos que os pontos
(-1/2, b₀) , (-1/2, b₁), (-1/2, b₂), (-1/2, b₃) e (-1/2, b₄) pertencem a mesma reta paralela ao eixo imaginário.
A)é falsa

Alternativa B verdadeira

C) Como b assume valores diferentes, a soma das raízes podem ser iguais ou diferente de zero. Como no problema pergunta qual das alternativas é verdadeira, conclui-se e C é falsa.