Question

$Seja:~~~~~~T \left[\left( \dfrac{x}{y} \right)\right]= \left[\begin{array}{ccc}1&0 \\0&-1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x \\y\end{array}\right] \\\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ T \left[\left( \dfrac{3}{5} \right)\right]= \left[\begin{array}{ccc}a \\b\end{array}\right]$



A matriz permite a reflexão de qualquer ponto ou vetor em relação ao eixo x.

Observe o laboratório “ simetria com bolinhas “ e responda , qual os valores das coordenadas “ a “ e “ b “ do vetor (a,b) quando submetido a essa matriz de efeito.

Answer 1

Temos a seguinte transformação linear:

$\begin{array}{cccc} T:&\mathbb{R}^{2}&\to& \mathbb{R}^{2}\\ &\left(x,\,y \right ) &\mapsto& \left(x,\,-y \right ) \end{array}$


Que, conforme está no enunciado, pode ser reescrita desta forma:

$T\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{cc} 1&0\\ 0&-1 \end{array} \right ] \left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]$


Efetuando a multiplicação das matrizes do lado esquerdo, chegamos, a

$T\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{c} 1x+0y\\ 0x+\left(-1 \right )y \end{array} \right ]\\ \\ \\ T\left[ \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{c} x\\ -y \end{array} \right ]$


Da última igualdade acima, para $x=3$ e $y=5$, temos que

$T\left[ \begin{array}{c} 3\\ 5 \end{array} \right ]= \left[ \begin{array}{c} 3\\ -5 \end{array} \right ]$


Portanto, os valores procurados, são

$a=3\,\,\text{ e }\,\,b=-5.$


Note que o ponto $\left(3,\,-5 \right )$ é exatamente a reflexão do ponto $\left(3,\,5 \right )$ em relação ao eixo $x$.

É justamente isto que a matriz de transformação faz. Retorna um outro ponto simétrico ao primeiro em relação ao eixo $x$, fazendo com que o eixo $x$ funcione como uma espécie de espelho  (daí o termo reflexão).