Question

$Seja~\mathbb{V}=\{(3a+4b-4c,2a-4b-6c,-2a-4b+2c)~/~a,b,c~\in~\mathbb{R}\}~um~subespa\text{\c{c}}o~de~\mathbb{R}^3.$

 

 

$(a)Determine~um~conjunto~de~geradores~para~\mathbb{V}.$

 

 

$(b)Determine~uma~base~para~\mathbb{V}.$  

 

 

$ALGU\'{E}M~ME~AJUDA~AII~GALERA~~;D$  

 

 

$VALEUU$

Answer 1

Gab,

 

$\text{(a) Vamos procurar um conjunto gerador para }\mathbb{V}.$

 

$\text{Inicialmente, podemos verificar que, }\forall v \in V,\text{temos que } v=Ax,\text{onde: }$

 

$<var>A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \text{ e }x=\left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right]</var>$

 

$\text{Tomemos }\mathbb{V}'=\{\text{colunas de A}\}=\{(3,2,-2),(4,-4,-4),(-4,-6,2)\}$

 

$\text{Para que }\mathbb{V}' \text{ seja um conjunto gerador de }\mathbb{V}, \text{ devem existir }\\ \lambda_1,\lambda_2 \text{ e }\lambda_3, \lambda_i \text{ n\~ao todos nulos}, \text{ tais que }\\ \lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=v, \forall v \in \mathbb{V} \Rightarrow$

 

$(3\lambda_1,2\lambda_1,-2\lambda_1)+(4\lambda_2,-4\lambda_2,-4\lambda_2)+(-4\lambda_3,-6\lambda_3,2\lambda_3)=\\ (3\lambda_1+4\lambda_2-4\lambda_3,2\lambda_1-4\lambda_2-6\lambda_3,-2\lambda_1-4\lambda_2+2\lambda_3)=$

 

$<var>\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a\\ b\\ c\\ \end{array}\right]</var>$

 

$\therefore \lambda_1=a,\lambda_2=b \text{ e }\lambda_3=c \text{ satisfazem a igualdade}$

 

$\Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e um conjunto gerador de }\mathbb{V}$

 

 

 

$\text{(b) Para que }\mathbb{V}' \text{ seja uma base para }\mathbb{V},$

$\text{os elementos de }\mathbb{V}' \text{ devem ser linearmente independentes (LI),}$

$\text{ou seja:}$

 

$\text{se }\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow \\ \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0$

 

$\text{Vejamos se tal condi\c{c}\~ao se verifica:}$

 

$\lambda_1(3,2,-2)+\lambda_2(4,-4,-4)+\lambda_3(-4,-6,2)=0 \Rightarrow$

 

$<var>\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ \end{array}\right]=0</var>$

 

$<var>\text{Como det}\left(\left[\begin{array}{ccc} 3 & 4 & -4\\ 2 & -4 & -6\\ -2 & -4 & 2 \end{array}\right]\right)=0 \Rightarrow</var>$

 

$\text{O sistema acima n\~ao possui solu\c{c}\~ao} \Rightarrow \lambda_1 =\lambda_2 = \lambda_3 = 0$

 

$\Rightarrow \text{os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI}$

 

$\therefore \text{Como }\mathbb{V}' \text{ gera }\mathbb{V} \text{ e os vetores de } \mathbb{V}' \text{ s\~ao LI} \\\\ \Rightarrow \mathbb{V}' \text{ \'e uma base para }\mathbb{V}$