Question

$Seja \ ( \ a_1 \ , a_2 \ , \ a_3 \ , \ ... \ ) \ a \ sequ\hat{e}ncia \ de finida \ da \ seguinte \ forma \ : \\ a_1 \ = \ 1 \ , \ a_2 \ = 1 \ e \ a_n \ = a_n_-_1 \ + \ a_n_-_2 \ para \ n \ \geq \ 3 \ . \ Considere \\ a \ afirma\c{c}\tilde{a}o \ a \ seguir \ : \\ \\ I \ - \ Existem \ tr\hat{e}s \ termos \ consecutivos \ , \ a_p \ , \ a_p_+_1 \ , \ a_p_+_2 \ que \ , \\ nesta \ ordem \ , formam \ uma \ progress\tilde{a}o \ geom\acute{e}trica . \\ \\ Julgue \ o \ item \ em \ verdadeiro \ ou \ falso \ .$

Answer 1

Olá Ludeen.


Pelo enunciado a sequência dada é a sequência de Fibonacci.

Queremos encontrar se nessa sequência Fibonacci existe 3 valores consecutivos que formam uma progressão geométrica. Em uma progressão geométrica a razão de um termo pelo termo antecessor é igual a uma razão q. Portanto se existir uma 3 termos que formam uma P.G, terá a seguinte relação.

$\mathsf{\dfrac{f_n}{f_{n-1}}=\dfrac{f_{n-1}}{f_{n-2}}}\\\\\\\mathsf{f_n\cdot f_{n-2}=f_{n-1}^2}$

Portanto, seria o mesmo que encontrar o quadrado de um termo que seja igual ao produto do seu antecessor pelo seu sucessor. 

Escrevendo alguns termos da sequência Fibonacci.
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...).

Vamos aplicar agora em alguns desses termos a fórmula anterior e observar o que ocorre.

$\mathsf{F_n^2=F_{n-1}\cdot F_{n+1}}\\\\\mathsf{2^2=1\cdot3~\Rightarrow~4=3~\gets (false)}\\\mathsf{3^2=2\cdot5~\Rightarrow~9=10~\gets( false)}\\\mathsf{5^2=3\cdot8~\Rightarrow~25=24~\gets(false)}\\\mathsf{8^2=5\cdot13~\Rightarrow~64=65~\gets(false)}$

Após alguns testes verificamos que isso não ocorre, mas parece surgir uma relação curiosa na sequência de Fibonacci. Perceba que o quadrado de um termo seria igual ao produto de um termo pelo seu antecessor se adicionássemos ou subtraíssemos uma unidade, veja.

$\mathsf{2^2=1\cdot3+1~\Rightarrow~4=4}\\\mathsf{3^2=2\cdot5-1~\Rightarrow~9=9}\\\mathsf{5^2=3\cdot8+1~\Rightarrow~25=25}\\\mathsf{8^2=5\cdot13-1\Rightarrow~64=64}$

Esse comportamento da sequência Fibonacci nos primeiros termos nos induz a conjecturar que isso acontecerá sempre.

Então se provarmos essa relação, irá implicar em dizer que não existirá 3 termos consecutivos que seguem uma P.G.

Primeiro vamos formatar a possível fórmula dessa relação.

Perceba que nos termos pares subtraímos 1, já nos termos ímpares adicionamos 1. Portanto temos.

$\mathsf{F_n^2=F_{n-1}\cdot F_{n+1}+(-1)^{n-1}}$

Como sabemos, expoentes pares retornam sempre expoentes positivos, portanto a fórmula acima expressa o que queremos provar.

Provando por P.I.F.

Primeiro precisamos checar se funciona na base.


$\mathsf{F_1=1}\\\mathsf{F_2=1}\\\mathsf{F_3=2}\\\\\mathsf{1^2=1\cdot2+(-1)^{2-1}}\\\mathsf{1=2-1}\\\mathsf{1=1~\checkmark}$


Agora vamos assumir que essa fórmula funcionará para um determinado n = k, e com isso queremos provar que funcionará para n = k + 1.


$\mathsf{F_n^2=F_{n-1}\cdot F_{n+1}+(-1)^{n-1}~~ \gets Hip\'otese}\\\\\\\mathsf{F_{k+1}^2=F_{k+1}\cdot F_{k+1}}\\\\\mathsf{F^2_{k+1}=F_{k+1}\cdot(F_{k}+F_{k-1})}\\\\\mathsf{F^2_{k+1}=F_{k+1}\cdot F_k+\boxed{\mathsf{F_{k+1}\cdot F_{k-1}}}\gets F^2_k-(-1)^{k-1}}\\\\\mathsf{F^2_{k+1}=F_{k+1}\cdot F_k+F^2_k-(-1)^{k}\cdot(-1)}\\\\\mathsf{F^2_{k+1}=F_k\cdot\boxed{\mathsf{(F_{k+1}+F_k)}}+(-1)^{k}}\\\\\boxed{\mathsf{F^2_{k+1}=F_k\cdot F_{k+2}+(-1)^k}}~\checkmark$


Como queríamos mostrar a relação dada é verdadeira.

Portanto.

$\mathsf{F^2_n=F_{n-1}\cdot F_{n+1}+(-1)^{n-1}~~\neq~~F^2_n=F_{n-1}\cdot F_{n+1}}$


Não existirá nenhuma sequência de 3 termos que será uma sequência de P.G. 


Dúvidas? comente.