Question

$<var>Sabendo \ que \ b=sec^{3}(\frac{\pi} {3}+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi} {12}+....) \ entao \ , o \ valor \ de\\ log_{2} |b| \ is \ ?</var>$

Answer 1

i) Primeiro temos que ver o valor da expressão entre parênteses. É fácil ver que temos uma PG, onde $a_1=\frac{\pi}{3}$ e q = 1/2. Como |q|<1 temos que:

$S_\infty=\frac{a_1}{1-q} \Rightarrow S_\infty=\frac{\pi/3}{1-1/2} \Rightarrow S_\infty=\frac{\pi/3}{1/2} \\ \\ \boxed{S_\infty=\frac{2\pi}{3}}$

ii) Acabamos de encontrar o valor da soma entre os parênteses, temos, agora, que calcular o valor de b:

$b=\sec^3S_\infty\Rightarrow b=\frac{1}{\cos^3(2\pi/3)} \Rightarrow b=\frac{1}{(-1/2)^3}\\ \\ b=\frac{1}{-1/8} \Rightarrow \boxed{b=-8}$

iii) Agora que temos o valor de b temos apenas que calcular o que foi pedido. Chamando aquela expressão, a que deseja-se saber o valor, de E teremos:

$E=\log\limits_2|b|=\log\limits_2|-8| \Rightarrow E=\log\limits_28\\ \\ \boxed{\boxed{E=3}}$