Question

$Resolvendo o limite \lim_{(x,y) \to (2,2)} \frac{ x^{3} - x^{2} y}{ x^{2} - y^{2} } obtem-se;$

Answer 1

Olá, tudo bem? Nesses casos, como sempre, vamos eliminar a indeterminação; posteriormente substituímos "x" e "y" por "2" e encontramos o limite; assim:

$\dfrac{x^{2}(\not x-\not y)}{(x+y)(\not x-\not y)}=\dfrac{x^{2}}{x+y}\\\\\text{Para}\,\,x=y=2:\,\, \dfrac{2^{2}}{2+2}=1\,\,\text{(resposta final)}$

Qualquer dúvida, por favor, é só me comunicar, ok? Muito Agradecido!!

Answer 2

Vamos lá.

Pede-se o limite quando (x; y) tendem a "2", na seguinte expressão:

lim [x³ - x²y]/[x²-y²]
(x;y)-->2

Veja: se você for substituir o "x" e o "y" por "2" diretamente, iremos encontrar algo como "0/0" e isso é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação. Então faremos o seguinte:

i) no numerador, colocaremos x² em evidência, ficando: x²*(x-y)
ii) no denominador, veja que x²-y² = (x-y)*(x+y).

Então vamos fazer as devidas substituições. Logo:

lim [x²*(x-y)]/[(x-y)*(x+y)]
(x;y)-->2

Dividindo-se (x-y) do numerador com (x-y) do denominador, iremos ficar apenas com:

lim [x²]/(x+y)
(x;y)-->2

Agora você já poderá ver que poderemos, tranquilamente, substituir tanto o "x" como o "y" por "2" e não iremos ter mais nenhuma indeterminação.
Assim, fazendo isso, teremos:

= [ 2²]/[2+2]
= [4]/[4] = 4/4 = 1 <--- Esta é a resposta. Este é o limite pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

Ok?
Adjemir.