Question

$Resolvendo \ a\ equac\~ao\ diferencial\ : \\\\xy'-2y=x^{3}senx\\\\ substituindo\ x\ por\ \pi\ e\ y\ por\ 0.\ Qual\ sera\ a\ minha\ constante\ ?$

Answer 1

xy' - 2y = x³senx

y' - 2/x * y = (x³senx)/x

y' - 2/x * y = x²senx → (equação diferencial linear de 1ª ordem) (*)

P(x) = -2/x 

I = e^∫P(x) dx → fator integração

I = e^∫-2/x dx = e^[-2 lnx + C] ⇒ I = e^[-2 lnx] = e^ln(x^-2) = x^-2 (a constante C pode ser desprezada nesse momento que nada altera).

Multiplicando (*) pelo fator  I = x^-2 

(x^-2) y' - (x^-2) 2/x * y = (x^-2) x² senx 

d/dx[x^-2 . y] = senx

Integrando ambos menbros

∫d/dx[x^-2 . y] = ∫senx dx

x^-2 . y = -cosx + C

y = -cosx/x^-2 + C/x^-2

y = -x²cosx + x².C

Fazendo agora as substituições x = π  e y = 0 

0 = -π²cosπ + π².C

0 = -π².(-1) + π².C

0 = π²[1 + C]

0 = 1 + C

C = -1

A constante será -1


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Sepauto 
22/05/2017
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