Question

$Resolvendo\ a\ diferencial\ :\\\\\\\\x\ . \ \frac{dy}{dx} \ +\ 2y\ =\ x^{3}\\\\\\\\teremos\ como\ resultado\ ...$

Answer 1

Em equações do tipo $\mathsf{a(x)y'+b(x)y=c(x)}$, costumamos assumir $\mathsf{a(x)\neq0}$ e dividir todos os termos por esse fator, obtendo uma nova equação

$\mathsf{y'+p(x)y=q(x),~~~onde~p(x)=\dfrac{b(x)}{a(x)}~e~q(x)=\dfrac{c(x)}{a(x)}}$

Multiplicamos essa nova equação por uma função $\mathsf{\mu=\mu(x)~\textgreater~0}$, obtendo

$\mathsf{y'\mu+y\cdot p(x)\mu=q(x)\mu}$

E a próxima ideia seria transformar o lado esquerdo da equação na derivada de $\mathsf{(y\mu)(x)}$. Para isso, adicionamos a restrição

$\mathsf{\dfrac{d\mu}{dx}=p(x)\mu}$

Assim encontramos $\mathsf{\mu}$ (fator de integração) e solucionamos facilmente a equação diferencial
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$\mathsf{xy'+2y=x^{3}}$

Vamos assumir $\mathsf{x\neq0}$ e dividir todos os termos por x

$\mathsf{y'+y\cdot\frac{2}{x}=x^{2}}$

Seja $\mathsf{\mu=\mu(x)~\textgreater~0}$ uma função. Multiplicando todos os termos por $\mu$, temos

$\mathsf{y'\mu+y\cdot\dfrac{2\mu}{x}=x^{2}\mu}$

No lado esquerdo, temos a derivada de y, multiplicada por $\mu$, somada à y multiplicado por $\mathsf{\frac{2\mu}{x}}$. Para termos uma derivada do produto no lado esquerdo (da forma $\mathsf{y'\mu+y\mu'}$), devemos ter a seguinte expressão para a derivada de $\mu$:

$\mathsf{\mu'=\dfrac{d\mu}{dx}=\dfrac{2\mu}{x}}$

Fazendo a separação de variáveis:

$\mathsf{\dfrac{d\mu}{\mu}=\dfrac{2}{x}\,dx}$

Integrando:

$\displaystyle\mathsf{\int\dfrac{1}{\mu}d\mu=\int\dfrac{2}{x}dx}\\\\\\\mathsf{\log\,\mu=2\log\,x}$

(não precisamos da constante de integração no fator $\mu$)

$\mathsf{\log\,\mu=2\log\,x}\\\\\mathsf{\log\,\mu=\log\,x^{2}}\\\\\mathsf{e^{\log\,\mu}=e^{\log\,x^{2}}}\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{\mu=x^{2}}}}$

Encontramos o fator de integração, então vamos voltar para a equação modificada:

$\mathsf{y'\mu+y\cdot\dfrac{2\mu}{x}=x^{2}}$

Como encontramos $\mu$ de forma que $\mathsf{\mu'=\frac{2\mu}{x}}$, então temos que

$\mathsf{y'\mu+y\cdot\frac{2\mu}{x}=y'\mu+y\mu'=(y\mu)'=\dfrac{d}{dx}(y\mu)}$

Portanto:

$\mathsf{\dfrac{d}{dx}(y\mu)=x^{2}\mu}\\\\\\\mathsf{\dfrac{d}{dx}(y\cdot x^{2})=x^{2}\cdot x^{2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{d}{dx}(y\cdot x^{2})=x^{4}}$

Integrando:

$\mathsf{\displaystyle\int\dfrac{d}{dx}(y\cdot x^{2})\,dx=\int x^{4}\,dx}\\\\\\\mathsf{y\cdot x^{2}=\dfrac{x^{5}}{5}+C}$

Isolando $\mathsf{y}$:

$\mathsf{y=\dfrac{x^{5}}{5x^{2}}+\dfrac{C}{x^{2}}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{y=\dfrac{x^{3}}{5}+\dfrac{C}{x^{2}}}}}$

Essa família de funções é solução da equação diferencial.
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Prova real:

$\mathsf{y'=\dfrac{d}{dx}\bigg(\dfrac{x^{3}}{5}+\dfrac{C}{x^{2}}\bigg)=\dfrac{3}{5}x^{2}-\dfrac{2C}{x^{3}}}$

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$\mathsf{xy'+2y=x\bigg(\dfrac{3}{5}x^{2}-\dfrac{2C}{x^{3}}\bigg)+2\bigg(\dfrac{x^{3}}{5}+\dfrac{C}{x^{2}}\bigg)}\\\\\\\mathsf{xy'+2y=\dfrac{3}{5}x^{3}-\dfrac{2C}{x^{2}}+\dfrac{2}{5}x^{3}+\dfrac{2C}{x^{2}}}\\\\\\\mathsf{xy'+2y=\bigg(\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}\bigg)x^{3}+0}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{xy'+2y=x^{3}}}}$