Usuário anônimo:
alguém tem alguma ideia de como proceder? eu fiquei um pouco perdido nessa questão
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9
=> Recordando o Teorema de Bolzano:
""..Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b], e se:
--> f(a).f(b) < 0 então existe um número impar de raízes (1, 3, 5, ..) ...ou seja existe pelo menos um ponto x = x’ entre “a” e “b” que é zero de f(x).”
--> f(a).f(b) > 0 então PODE EXISTIR um número par de raízes (0, 2, 4, ..) ...atenção a esta 2ª situação pois regra geral ela significa que o "número par" de raízes ...é o "ZERO".
NOTA IMPORTANTE:
O Teorema de Bolzano não nos indica o valor da raiz ..mas garante-nos a sua existência num determinado intervalo
Depois podemos fazer aplicações sucessivas deste Teorema a intervalos cada vez menores ...e obter aproximações muito maiores ao valor da raiz!
....
Para saber, pelo Teorema de Bolzano se existe √5 temos de ter uma função e neste caso é bastante simples ...basta "andar para trás"
Concretizando:
X = √5
X² = 5
X² - 5 = 0
f(x) = X² - 5 <-- pronto já temos a nossa função
....agora temos de pensar em valores para definir o intervalo a testar.
Por intuição sabemos que √5 é um valor que anda entre 2 e 3 ..e este podia ser um critério.
Mas vamos utilizar o valor "2" como unidade de referencia e testar o Teorema com uma unidade abaixo e com uma unidade acima ...ou seja os intervalos [1, 2] e [2, 3]
assim:
Para o intervalo [1, 2]
f(1) = (1)² - 5
f(1) = -4 ...logo f(1) < 0
f(2) = (2)² - 5
f(2) = -1 ...logo f(2) < 0
...o que implica dizer que f(1) . f(2) > 0 logo PODE HAVER um número par de raízes neste intervalo ...mas veja o aviso acima nestas situações de f(1) . f(2) > 0
Para o intervalo [2, 3]
f(2) = (2)² - 5
f(2) = -1 ...logo f(2) < 0
f(3) = (3)² - 5
f(3) = +4 ...logo f(3) > 0
...o que implica dizer que f(2) . f(3) < 0 ..logo EXISTE um número impar de raízes (1, 3, 5, ..) neste intervalo
..e pelo Teorema de Bolzano ficaríamos por aqui porque ele não indica valores ...só a localização da(s) raiz(es), se elas existirem, num determinado intervalo!
Mas podemos "aperfeiçoar" mais a nossa resposta e criar mais um valor de referencia para o nosso intervalo [2, 3] ...por exemplo o seu ponto médio 2,5
o novo intervalo seria [(2), (2,5)]
testando:
f(2) = -1 .....logo f(2) < 0
f(2,5) = (2,5)² - 5
f(2,5) = 6,25 - 5
f(2,5) = 1,25 ...logo f(2,5) > 0
isso implica que f(2) . f(2,5) < 0 ..ou seja encontramos um intervalo menor para a localização da raiz
e poderíamos ir sucessivamente adicionando acréscimos ao limite inferior (2) e decréscimos ao limite superior (2,5) ...aplicando o Teorema de Bolzano a cada novo intervalo e aumentando a nossa "precisão" na localização da raiz
Espero ter ajudado
""..Se a função f(x) é contínua no intervalo [a, b], e se:
--> f(a).f(b) < 0 então existe um número impar de raízes (1, 3, 5, ..) ...ou seja existe pelo menos um ponto x = x’ entre “a” e “b” que é zero de f(x).”
--> f(a).f(b) > 0 então PODE EXISTIR um número par de raízes (0, 2, 4, ..) ...atenção a esta 2ª situação pois regra geral ela significa que o "número par" de raízes ...é o "ZERO".
NOTA IMPORTANTE:
O Teorema de Bolzano não nos indica o valor da raiz ..mas garante-nos a sua existência num determinado intervalo
Depois podemos fazer aplicações sucessivas deste Teorema a intervalos cada vez menores ...e obter aproximações muito maiores ao valor da raiz!
....
Para saber, pelo Teorema de Bolzano se existe √5 temos de ter uma função e neste caso é bastante simples ...basta "andar para trás"
Concretizando:
X = √5
X² = 5
X² - 5 = 0
f(x) = X² - 5 <-- pronto já temos a nossa função
....agora temos de pensar em valores para definir o intervalo a testar.
Por intuição sabemos que √5 é um valor que anda entre 2 e 3 ..e este podia ser um critério.
Mas vamos utilizar o valor "2" como unidade de referencia e testar o Teorema com uma unidade abaixo e com uma unidade acima ...ou seja os intervalos [1, 2] e [2, 3]
assim:
Para o intervalo [1, 2]
f(1) = (1)² - 5
f(1) = -4 ...logo f(1) < 0
f(2) = (2)² - 5
f(2) = -1 ...logo f(2) < 0
...o que implica dizer que f(1) . f(2) > 0 logo PODE HAVER um número par de raízes neste intervalo ...mas veja o aviso acima nestas situações de f(1) . f(2) > 0
Para o intervalo [2, 3]
f(2) = (2)² - 5
f(2) = -1 ...logo f(2) < 0
f(3) = (3)² - 5
f(3) = +4 ...logo f(3) > 0
...o que implica dizer que f(2) . f(3) < 0 ..logo EXISTE um número impar de raízes (1, 3, 5, ..) neste intervalo
..e pelo Teorema de Bolzano ficaríamos por aqui porque ele não indica valores ...só a localização da(s) raiz(es), se elas existirem, num determinado intervalo!
Mas podemos "aperfeiçoar" mais a nossa resposta e criar mais um valor de referencia para o nosso intervalo [2, 3] ...por exemplo o seu ponto médio 2,5
o novo intervalo seria [(2), (2,5)]
testando:
f(2) = -1 .....logo f(2) < 0
f(2,5) = (2,5)² - 5
f(2,5) = 6,25 - 5
f(2,5) = 1,25 ...logo f(2,5) > 0
isso implica que f(2) . f(2,5) < 0 ..ou seja encontramos um intervalo menor para a localização da raiz
e poderíamos ir sucessivamente adicionando acréscimos ao limite inferior (2) e decréscimos ao limite superior (2,5) ...aplicando o Teorema de Bolzano a cada novo intervalo e aumentando a nossa "precisão" na localização da raiz
Espero ter ajudado
Muito obrigado pela ajuda , não tinha pensado em montar um polinômio da maneira que você fez
mas olhando a resolução e considerando que o assunto ( Teorema de Bolzano ) deveria ter sido mais óbvio para mim
Obrigado pela ajuda Manuel =D consegui entender
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