Question

$\\ \mathrm{[EPCAr/85] \ Se \ x_1 \ e \ x_2 \ \textrm{s\~ao ra\'izes da equa\c{c}\~ao} \ ax^2 + bx + c = 0, \ com \ a \neq 0.} \\\\ \mathrm{\textrm{Ent\~ao} \ \dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1} \ vale:} \\\\ \mathrm{(a) \ \frac{b^2}{ac}} \\\\ \mathrm{(b) \frac{b^2 - 2ac}{ac}} \\\\ \mathrm{(c) \frac{b^2 - ac}{ac}} \\\\ \mathrm{(d) b^2 - 2} \\\\ \mathrm{(e) \frac{b^2 + ac}{ac}}$

Answer 1

Olá!

Se x1 e x2 são raízes da equação ax²+bx+c = 0, a ≠ 0, é em:

x1/x2 + x2/x1 (I) , é convencional trabalharmos com (I). 

Fazendo mmc(x2,x1) , descobrimos que vale o produto x1.x2 sempre que 

temos incógnitas. Dividindo pelo de baixo e multiplicando pelo de cima resulta:

x1²+x2² 
---------  (*)     ; vamos trabalhar com somas e produtos de equações de 2º grau
x1.x2

Sabemos que:

x1+x2 = -b/a  ; Elevando os dois membros ao quadrado, vem:

(x1+x2)² = (-b/a)² => x1²+2.x1.x2+x2² = b²/a² ; x1.x2 = c/a, logo, teremos:

x1²+2.c/a+x2² = b²/a² , donde vem: x1²+x2² = b²/a² - 2c/a

Em (*), resulta:

b²/a² - 2c/a        
---------------- = b²-2ac/a² / c/a = b²-2ac/a² . a/c , donde finalmente vem:
      c/a

x1/x2+x2/x1 = b²-2ac/ac

∴ Alternativa B

Espero ter ajudado! :D