Question

$(MA14-PROFMAT) \ Prove \ que \ N= \underbrace{111...}_{n-1}\underbrace{222...}_{n}5 \ \acute{e} \ um \ quadrado \ perfeito.$

Answer 1

Resposta:   $N=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^{\!2},\quad\mathrm{com~}\dfrac{10^n+5}{3}\in\mathbb{N}.$

Explicação passo a passo:

Provar que N = 11...122...25 é um quadrado perfeito, sendo N um número natural formado por n − 1 algarismos iguais a 1, seguidos de n algarismos iguais a 2, seguido do algarismo 5.

    $\begin{array}{l}N=\underbrace{11\ldots 1}_{n-1}\underbrace{22\ldots 2}_n 5 \end{array}$

O número $N$ é formado por $2n$ algarismos. Utilizando o sistema de numeração posicional decimal, podemos escrever:

    $\begin{array}{lcl}\Longleftrightarrow\quad N=&&\underbrace{(1\cdot 10^{2n-1}+1\cdot 10^{2n-2}+\ldots+1\cdot 10^{n+1})}_{n-1\mathrm{~parcelas}}\;+\\\\&\!\!\!+\!\!\!&\underbrace{(2\cdot 10^n+2\cdot 10^{n-1}+\ldots+2\cdot 10^2+2\cdot 10^1)}_{n\mathrm{~parcelas}}\;+\;5\cdot 10^0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=&&(10^{2n-1}+10^{2n-2}+\ldots+10^{n+1})\;+\\\\&\!\!\!+\!\!\!&2\cdot (10^n+10^{n-1}+\ldots+10^2+10^1)+5\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Entre parênteses, temos duas somas de progressões geométricas de razão $q=10.$ Aplicando a fórmula abaixo da soma dos termos de uma P.G.:

    $\displaystyle\sum_{k=a}^b q^k=\left.\frac{q^k}{q-1}\right|_a^{b+1}=\frac{q^{b+1}-q^a}{q-1}\qquad\mathrm{com~}q\ne 1$

Para $q=10,$ a expressão (i) fica

    $\begin{array}{l}\displaystyle\Longleftrightarrow\quad N=\sum_{k=n+1}^{2n-1}10^k+2\cdot \sum_{k=1}^n 10^k+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left.\dfrac{10^k}{10-1}\right|_{n+1}^{(2n-1)+1}+2\cdot \left.\dfrac{10^k}{10-1}\right|_1^{(n)+1}+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left.\dfrac{10^k}{9}\right|_{n+1}^{2n}+2\cdot \left.\dfrac{10^k}{9}\right|_1^{n+1}+5\end{array}$

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}}{9}+2\cdot \dfrac{10^{n+1}-10^1}{9}+5\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}+2\cdot(10^{n+1}-10)+45}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}-10^{n+1}+2\cdot10^{n+1}-20+45}{9}\end{array}$

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}+10^{n+1}+25}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{10^{2n}+10\cdot 10^n+25}{9} \end{array}$

Reescrevendo $10=2\cdot 5,$ identificamos o numerador como o quadrado de uma soma (produtos notáveis):

    $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{(10^n)^2+2\cdot 5\cdot 10^n+5^2}{9}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\dfrac{(10^n+5)^2}{3^2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=\left(\dfrac{10^n+5}{3}\right)^{\!2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=m^2\qquad\checkmark\end{array}$

com $m=\dfrac{10^n+5}{3}.$

Agora, apenas nos resta verificar se $m$ é natural. Utilizando congruência modular e suas propriedades, temos

    $\begin{array}{l}10\equiv 1\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longrightarrow\quad 10^n\equiv 1^n\equiv 1\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10^n+5\equiv 1+5\quad\mathrm{(mod~3)}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10^n+5\equiv 6\equiv 0\quad\mathrm{(mod~3)}\end{array}$

Portanto $10^n+5$ é multiplo de $3,$ para todo $n\in\mathbb{N}$ e consequentemente

    $\Longrightarrow\quad \dfrac{10^n+5}{3}\in\mathbb{N}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad m\in\mathbb{N}\qquad\quad\blacksquare$

como queríamos.

Obs.: Utilizando a mesma fórmula da soma da progressão geométrica, podemos também verificar que

    $\displaystyle m=\dfrac{10^n+5}{3}=\underbrace{33\ldots 3}_{n-1}5=3\cdot \sum_{k=1}^{n-1} 10^k+5$

isto é, $m$ é um natural formado por $n-1$ algarismos iguais a $3,$ seguido do algarismo $5.$

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Bons estudos!