Question

$log_{x+2}(20-2x)=2$

resposta:2

calculo pfv

Answer 1

Boa tarde!!

Sabendo que $log_{a} b = x >>>> a^{x} = b$, temos:

(x + 2)² = 20 - 2x

Desenvolvendo o produto notável fica:

x² + 4x + 4 = 20 - 2x

x² + 4x + 2x + 4 - 20 = 0

x² + 6x - 16 = 0

Δ = 6² - 4.1.(-16)

Δ = 36 + 64

Δ = 100

$x' = \frac{-6 - \sqrt{100} }{2.1} = \frac{-6-10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

$x" = \frac{-6+\sqrt{100} }{2.1} = \frac{-6+10}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Temos 2 soluções para x: - 8 e 2. Só que a base do logaritmo não pode ser negativa e se a gente  considerar x = -8, a base seria - 6 (x + 2 = - 8 + 2 = -6). Então x não pode ser - 8, sobrando a outra solução encontrada. Daí:

x = 2

Espero ter ajudado ;)

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

$\sf log_{x+2}~(20-2x)=2$

=> Condição de existência

De modo geral, $\sf log_{b}~a=c$, devemos ter:

1) $\sf a > 0$

2) $\sf b > 0~e~b \ne 1$

Nessa equação:

$\sf log_{x+2}~(20-2x)=2$

1)

$\sf 20-2x > 0$

$\sf -2x > -20~~~\cdot(-1)$

$\sf 2x < 20$

$\sf x < \dfrac{20}{2}$

$\sf x < 10$

2)

2.1)

$\sf x+2 > 0$

$\sf x > -2$

2.2)

$\sf x+2 \ne 1$

$\sf x \ne 1-2$

$\sf x \ne -1$

A condição de existência é $\sf -2 < x < 10$ e $\sf x \ne -1$

$\sf log_{x+2}~(20-2x)=2$

Aplicando a definição de logaritmo:

$\sf (x+2)^2=20-2x$

$\sf x^2+4x+4=20-2x$

$\sf x^2+4x+2x+4-20=0$

$\sf x^2+6x-16=0$

$\sf \Delta=6^2-4\cdot1\cdot(-16)$

$\sf \Delta=36+64$

$\sf \Delta=100$

$\sf x=\dfrac{-6\pm\sqrt{100}}{2\cdot1}=\dfrac{-6\pm10}{2}$

$\sf x'=\dfrac{-6+10}{2}~\Rightarrow~x'=\dfrac{4}{2}~\Rightarrow~\red{x'=2}$

$\sf x"=\dfrac{-6-10}{2}~\Rightarrow~x"=\dfrac{-16}{2}~\Rightarrow~\red{x"=-8}$ (não serve, pois não satisfaz a condição de existência)

Logo, o conjunto solução é S = {2}