Question

$log_{3}x + log_{9}x + log_{27}x = \frac{11}{6}$
façam o desenvolvimento e condiçao de existencia do logaritmando e expliquem o basico se possivel...

eu ja sei as propriedades.. sò nao sei fazer sozinha.​

Answer 1

Perceba que os três logaritmos mostrados na equação possuem bases diferentes (3, 9 e 27), assim vamos começar utilizando a propriedade da troca de base para podermos somar estes logaritmos em uma base comum.

$Propriedade~da~Troca~de ~Base:~~\boxed{\log_{b}a=\dfrac{\log_c a}{\log_c b}}$

Vou escolher a base 3 como base comum aos três logaritmos, já que 3, 9 e 27 são potências de 3 e, portanto, facilitará os cálculos.

$\log_3 x~+~\log_9 x~+~\log_{27}x~=~\dfrac{11}{6}\\\\\\\boxed{\dfrac{\log_3x}{\log_33}~+~\dfrac{\log_3x}{\log_39}~+~\dfrac{\log_3x}{\log_327}~=~\dfrac{11}{6}}$

Vamos calcular ㏒₃3, ㏒₃9 e ㏒₃27 separadamente utilizando a definição de logaritmo.

$De finicao~de~Logaritmo:~~\boxed{\log_b a=x~~~\Longleftrightarrow~~~a=b^x}$

$\log_33=a~~ \Longleftrightarrow~~3=3^a\\\\3^1~=~3^a\\\\\backslash\!\!\!3^1~=~\backslash\!\!\!3^a\\\\\boxed{a~=~1}\\\\\\\log_39=b~~ \Longleftrightarrow~~9=3^b\\\\3^2~=~3^b\\\\\backslash\!\!\!3^2~=~\backslash\!\!\!3^b\\\\\boxed{b~=~2}\\\\\\\log_327=c~~ \Longleftrightarrow~~27=3^c\\\\3^3~=~3^c\\\\\backslash\!\!\!3^3~=~\backslash\!\!\!3^c\\\\\boxed{c~=~3}$

Substituindo os valores dos logaritmos na equação, temos:

$\dfrac{\log_3x}{1}~+~\dfrac{\log_3x}{2}~+~\dfrac{\log_3x}{3}~=~\dfrac{11}{6}\\\\\\MMC = 6\\\\\\\dfrac{6\cdot\log_3x~+~3\cdot\log_3x~+~2\cdot\log_3x}{6}~=~\dfrac{11}{6}\\\\\\6\log_3x~+~3\log_3x~+~2\log_3x~=~11\\\\\\11\log_3x~=~11\\\\\\\log_3x~=~\dfrac{11}{11}\\\\\\\boxed{\log_3x~=~1}$

Utilizando a definição de logaritmo:

$\log_3x~=~1~~\Longleftrightarrow~~x~=~3^1\\\\\\x~=~3^1\\\\\\\boxed{x~=~3}~~\Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$