Question

$log_{3}x+\frac{1}{log_{3x}9}=2$
Resposta: 3
calculo pfv

Answer 1

Boa tarde!!

Pra resolver essa questão, devemos conhecer algumas propriedades de logaritmo. A primeira que vamos usar é a propriedade da mudança de base (está representada na figura 1 em anexo).

Para ser pertinente com o exercício, vamos mudar a base do log 3x para log 3 (no caso, vamos mudar a base 3x para 3). A mudança consta na figura 2 em anexo (coloquei na figura para a compreensão da conta ficar mais clara).

Sabendo que 9 = 3², a situação muda para a figura 3 em anexo.

Agora temos que aplicar a propriedade da potência do logaritmo, que é:

$log_ {b} a^{c} = c.log_{b} a$

A conta agora fica como na figura 4 em anexo.

Temos, agora, que aplicar a propriedade do produto do logaritmo, que é:

$log_{c} (a.b) = log_{c} a + log_{c} b$

Observe a situação na figura 5 em anexo com a aplicação da propriedade do produto.

Quando o logaritmo é igual a base:

$log_{a} a = 1$

Temos agora a situação da figura 6 em anexo.

Podemos notar que o número 1 tá dividindo uma fração. Nesse caso, há a seguinte relação:

$\frac{1}{\frac{x}{y} } = 1.\frac{y}{x} = \frac{y}{x}$

Daí, a situação fica como mostra a figura 7 em anexo.

A partir daqui, podemos fazer a seguinte substituição:

$log_{3} x = y$

Substituindo o valor na equação fica:

$y + \frac{1 + y}{2} = 2$

$\frac{1 + y}{2} = 2 - y$

Multiplicando cruzado:

1 + y = 2.(2 - y)

1 + y = 4 - 2y

2y + y = 4 - 1

3y = 3

y = 3/3

y = 1

Com o valor de y, podemos encontrar o valor de x no logaritmo:

$log_{3} x = 1$

Pela regra do logaritmo, temos que:

$log_{a} b = x >> a^{x} = b$

Aplicando no nosso problema:

$log_{3} x = 1 >> 3^{1} = x$

Como: $3^{1} = 3$, temos:

x = 3

Espero ter ajudado :)