Question

$log_{2}(9^{x-2}+7)=2+log_{2}(3^{x-2}+1)$

resposta:2, 3

calculo pfv

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

$\sf log_{2}~(9^{x-2}+7)=2+log_{2}~(3^{x-2}+1)$

Note que $\sf 2=log_{2}~4$

$\sf log_{2}~(9^{x-2}+7)=log_{2}~4+log_{2}~(3^{x-2}+1)$

Lembre-se que:

$\sf log_{b}~a+log_{b}~c=log_{b}~(a\cdot c)$

Assim:

$\sf log_{2}~(9^{x-2}+7)=log_{2}~4+log_{2}~(3^{x-2}+1)$

$\sf log_{2}~(9^{x-2}+7)=log_{2}~[4\cdot(3^{x-2}+1)]$

Igualando os logaritmandos:

$\sf 9^{x-2}+7=4\cdot(3^{x-2}+1)$

$\sf (3^2)^{x-2}+7=4\cdot3^{x-2}+4$

$\sf 3^{2x-4}+7=4\cdot3^{x-2}+4$

$\sf \dfrac{3^{2x}}{3^4}+7=4\cdot\dfrac{3^x}{3^2}+4$

$\sf \dfrac{3^{2x}}{81}+7=4\cdot\dfrac{3^x}{9}+4$

$\sf 3^{2x}+81\cdot7=9\cdot4\cdot3^{x}+81\cdot4$

$\sf 3^{2x}+567=36\cdot3^{x}+324$

$\sf 3^{2x}-36\cdot3^{x}+567-324=0$

$\sf 3^{2x}-36\cdot3^{x}+243=0$

$\sf (3^x)^2-36\cdot3^{x}+243=0$

Seja $\sf 3^x=y$

$\sf y^2-36y+243=0$

$\sf \Delta=36^2-4\cdot1\cdot243$

$\sf \Delta=1296-972$

$\sf \Delta=324$

$\sf y=\dfrac{-(-36)\pm\sqrt{324}}{2\cdot1}=\dfrac{36\pm18}{2}$

$\sf y'=\dfrac{36+18}{2}~\Rightarrow~y'=\dfrac{54}{2}~\Rightarrow~\red{y'=27}$

$\sf y"=\dfrac{36-18}{2}~\Rightarrow~y"=\dfrac{18}{2}~\Rightarrow~\red{y"=9}$

=> Para y = 27:

$\sf 3^x=y$

$\sf 3^x=27$

$\sf 3^x=3^3$

Igualando os expoentes:

$\sf \red{x=3}$

=> Para y = 9:

$\sf 3^x=y$

$\sf 3^x=9$

$\sf 3^x=3^2$

Igualando os expoentes:

$\sf \red{x=2}$

O conjunto solução é S = {2, 3}