Question

$\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{ x^{2} +1} }{x + 1}$

Answer 1

 lim √(x² + 1)/(x + 1) = lim (x² + 1)/(x² + 2x + 1) 
 x->∞                          x->∞

  essa limite esta da forma ∞/∞ 
  podemos aplicar a regra de l Hospital  

  f(x) = x² + 1  ,    f'(x) = 2x 
  g(x) = x² + 2x + ,  g'(x) = 2x + 1

  lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) = lim (2x/(2x + 1) 
  x->∞              x->∞                x->∞

  essa limite esta da forma ∞/∞ 
  podemos aplicar a regra de l Hospital

  h(x) = 2x ,     h'(x) = 2 
  i(x) = 2x + 1 , i'(x) = 2

  lim h(x)/i(x) = lim h'(x)/i'(x) = 2/2 = 1 
  x->∞              x->∞

Answer 2

Vamos lá ! 

Primeiro elevo o denominador ao quadrado e estendo a raiz ... 

$\lim_{x \to \infty} \frac{ \sqrt{x^{2}+1} }{x+1} \ \ \ = \ \ \ \sqrt{ \frac{x^{2}+1}{(x+1)^{2}} } \\\\\\ \sqrt{ \frac{x^{2}+1}{x^{2}+2x+1} } \\\\\\divido\ todos\ por \ x^{2}\ ...\\\\\\ \sqrt{ \frac{ \frac{x^{2}}{x^{2}}+ \frac{1}{x^{2}} }{ \frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} } } \\\\\\ \sqrt{ \frac{ 1+ \frac{1}{x^{2}} }{1+ \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} } } \\\\\\substituindo\ x\ por\ \infty\ ...\\\\\\ \sqrt{ \frac{1+ \frac{1}{\infty} }{1+ \frac{2}{\infty} + \frac{1}{\infty^{2} } }$


Imagine um número qualquer sendo dividido por outro infinitamente grande ... o resultado será infinitamente pequeno = 0 


$\sqrt{ \frac{1+0}{1+0+0} } \\\\\\ \sqrt{ \frac{1}{1} } \\\\\\ \sqrt{1} \ = 1 \\\\\\\\Ent\~ao:\\\\\\\\\\ \boxed{\boxed{\lim_{x \to \infty} \ \frac{ \sqrt{x^{2}+1} }{x+1} \ =\ \boxed{\boxed{1}}\ }}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ok$