Question

$\lim_{x \to 5} 2- \sqrt{x-1} / x^{2} -25$

Answer 1

Olá. Bom dia

Sendo nosso limite :

$\lim_{x \to \ 5} \frac{2-\sqrt{x-1} }{x^2 - 25 }$

Note que se substituirmos o x por 5, dará indeterminação.

$\frac{2-\sqrt{5-1} }{5^2 - 25 } = \frac{2 - \sqrt{4} }{25-25} = \frac{0}{0}$

Podemos fazer de duas maneira. A primeira é racionalizando o numerador OU aplicando regra de  L'hospital ( derivando em cima e em baixo )

1) Racionalizando o Numerador.

$\frac{2-\sqrt{x-1} }{x^2 - 25 }. \frac{2+\sqrt{x-1} }{2+\sqrt{x-1}}$  

Note que em cima vai dar aquele produto notável $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

sendo a = 2 e b = $\sqrt{x-1}$

Vou substituir já direto.

$\frac{2^2 - (\sqrt{x-1}) ^2 }{(x^2-25).(2+\sqrt{x-1}) } = \frac{4-(x-1)}{(x^2-25).(2+\sqrt{x-1}) }$ ⇒

⇒ $\frac{(4-x+1)}{(x^2-25)(2+\sqrt{x-1}) } = \frac{5-x}{(x^2-25)(2+\sqrt{x-1} ) }$ ⇒

No numerador, coloca o -1 em evidência, ficando -1(x-5) e no denominador, note que x^2 - 25 = (x+5)(x-5).

Vou substitui-los dessa forma .

⇒ $\frac{-1(x-5)}{(x-5)(x+5).(2+\sqrt{x-1}) } = \frac{-1}{(x+5).(2+\sqrt{x-1}) }$

agora já podemos substituir x por 5.

$\frac{-1}{(5+5).(2+\sqrt{5-1}) } = \frac{-1}{10.(2+2)} = \frac{-1}{40}$

( pronto, esse é valor do limite quando x tende a 5 )

2) Fazendo pela regra de L'Hospital

Relembrando

$\lim_{}\frac{f(x)}{g(y)} = indeterminado$

então, podemos fazer

$lim \frac{f'(x)}{g'(y) }$ ( podemos derivar até sumir com a indeterminação )

Sendo nosso limite

$\lim_{x \to \ 5} \frac{2-\sqrt{x-1} }{x^2 - 25 }$

substituindo x =5 dará indeterminado $\frac{0}{0}$, então vamos derivar

$\frac{2-\sqrt{x-1} }{x^2 - 25 }$

Vamos derivar primeiro o numerador e depois o numerador, separadamente, só pra ficar melhor

$[ 2-\sqrt{x-1} ] '= [2-(x-1)^\frac{1}{2} ] '$ ⇒

⇒ $0 - \frac{1.}{2}.(x-1)^{\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}.(x-1)^{\frac{-1}{2}$ ⇒

⇒ $-\frac{1}{2.\sqrt{x-1} }$

Agora vamos derivar o denominador.

$(x^2 - 25 )' = 2.x - 0$

Agora vamos juntar as derivadas. ( numerador e denominador )

$\frac{-\frac{1}{2.\sqrt{x-1}}}{2.x} = -\frac{1}{2.\sqrt{x-1}.(2x) }$

substituindo x = 5

 $-\frac{1}{2.\sqrt{5-1}.(2.5) } = -\frac{1}{2.2.10} = -\frac{1}{40}$