Question

$\lim_{x \to \1} \frac{1-x}{2- \sqrt{ x^{2} +3} }$ 


Poderiam me ajudarem mandando o passo a passo por favor?

X ->1

Answer 1

A uma indeterminação no limite.

Se substituirmos "x" por 1. O limite sera 0/0

Teremos que resolver por um manipulações algébricas ok?

Vamos multiplicar o denominador e o numerador pela expressão:

Mas com o sinal positivo.

$2- \sqrt{x^2+3}$  ← $2+ \sqrt{x^2+3}$

Assim:



$\lim_{x \to 1} \frac{1-x}{2- \sqrt{x^2+3} } * \frac{2+ \sqrt{x^2+3} }{2+ \sqrt{x^2+3} }$

Repare que não modificamos o limite, pois qualquer numero diferente de zero dividido por ele mesmo é 1. Portanto estamos multiplicando o limite por 1.


$\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3}) }{(2- \sqrt{x^2+3})*(2+ \sqrt{x^2+3)} }$



Usando uma regrinha basica do quadrado da diferenção no denominador:

(a+b)(a-b) = a²-b²

onde nosso "a" seria o "2" e o "b" (√x²+3)


$\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3)} }{(2)^2-( \sqrt{x^2+3})^2 }$

Podemos simplificar o quadrado com a raiz quadrada:



$\\ \lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3} )}{4-(x^2+3)} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3)} }{4-x^2-3} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3)} }{-x^2+1}$

Vamos fatorar o denominador:

-x²+1 = 0

-x² = -1

x² = -1/-1

x² = 1

x = +/- 1

Lembrando da forluma de fatoração onde diz:

F(x) = a*(x-Raiz1)*(x-Raiz2)

Observe que o "a" vale "-1" pois temos -1 multiplicando x²:

Entao:

-x² + 1= -1(X -1)(X- (-1))

-x² +1 = -1(x-1)(x+1)

Mas vamos passar o -1 multiplicando o primeiro fator:

-x²+1 = (-x -(-1)(x+1)

-x² +1 = (1-x)(x+1)

Vamos levar no limite:


$\lim_{x \to 1} \frac{(1-x)*(2+ \sqrt{x^2+3)} }{(1-x)(x+1)}$

Simplificando (1-x) ficamos:


$\lim_{x \to 1} \frac{2+ \sqrt{x^2+3} }{x+1}$

Sem problemas podemos substituir o "x" = 1

$\\ \lim_{x \to 1} \frac{2+ \sqrt{1^1+3} }{1+1} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{2+ \sqrt{4} }{2} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{2+2}{2} \\ \\ \lim_{x\to 1} \frac{4}{2} = 2$