Question

$\lim_{x \to \01} \frac{ \sqrt{3x+1}-2}{ x^{2} +3x-4}$

Answer 1

Olá

$\lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{3x+1}-2 }{x^2-3x-4} = \frac{0}{0} \\ \\ Temos~ que ~multiplicar~ pelo ~conjugado~ para ~tirar ~a~ \\ raiz~do~numerador \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{ \sqrt{3x+1}-2 }{x^2-3x-4} ~\cdot~ \frac{ \sqrt{3x+1}+2 }{ \sqrt{3x+1}+2 } \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{ (\sqrt{3x+1})^2-(2)^2 }{(x^2-3x-4)( \sqrt{3x+1} +2)} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{ 3x+1-4 }{x^2-3x-4( \sqrt{3x+1}+2 )}$


Dividindo os polinômios por x-1 iremos encontrar
3x-3        ÷     x-1 = 3
x²+3x-4   ÷     x-1 = x+4

Substituindo no limite

$\mathtt{\lim_{x \to 1} ~ \frac{ \diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-1)\cdot(3) }{\diagup\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!(x-1)\cdot(x+4)( \sqrt{3x+1}+2 )}} \\ \\ \lim_{x \to 1} \frac{ 3 }{(x+4)( \sqrt{3x+1}+2 )}= \frac{3}{(1+4)( \sqrt{4}+2 )} = \frac{3}{5(2+2)} = \boxed{\frac{3}{20} }$