Question

$\lim_{x \to \ 0}_{y \to \ 0} \frac{2y}{x+y}$

Answer 1

Tomemos a seguinte função:

$f(x,\;y)=\dfrac{2y}{x+y}$


$\bullet\;\;$ Tomemos a seguinte curva no plano $xy:$

$\gamma_{1}(t)=(0,\,t)$


Calculando o limite sobre a curva $\gamma_{1},$ temos

$\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)}f(x,\,y)=\lim_{t \to 0}f(\gamma_{1}(t))\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}f(0,\;t)\\ \\ =\lim_{t \to 0}\dfrac{2t}{0+t}\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}\dfrac{2t}{t}=2\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ Agora, tomemos uma outra curva:

$\gamma_{2}(t)=(t,\;0)$


Calculando o limite sobre a curva $\gamma_{2},$ temos

$\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)}f(x,\,y)=\lim_{t \to 0}f(\gamma_{2}(t))\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}f(t,\;0)\\ \\ =\lim_{t \to 0}\dfrac{2\cdot 0}{t+0}\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}\dfrac{0}{t}\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}0=0\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Se o limite existisse, então $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ seriam iguais. Como $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)}$ são diferentes, concluímos que

$\displaystyle\lim_{(x,\,y)\to (0,\,0)}\;\dfrac{2y}{x+y}$

não existe.