Question

$\lim_{x \to 0} \frac{sen ax - sen bx}{x}$ a resposta é: a-b


Passo a passo por obséquio.

Answer 1

Pretendemos calcular o valor do limite:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax) - \sin(bx)}{x}.$

Vamos começar por separar o limite em dois:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax) - \sin(bx)}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{x} - \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(bx)}{x}.$

Ambos os limites presentes na expressão inicial são do tipo:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x},$

onde $k \neq 0$ é uma constante real. Vamos calcular o seu valor, multiplicando e dividindo por $k$:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(kx)}{kx} \times k = k \times \underbrace{\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u}}_{=1} = k,$

onde se fez a mudança de variável $u = kx \to 0$, quando $x \to 0$, bem como o limite notável:

$\lim\limits_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1.$

Regressando à expressão a calcular, fazemos $k = a$ no 1.º limite e $k = b$ no 2.º, obtemos a resposta final:

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax) - \sin(bx)}{x} = \underbrace{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax)}{x}}_{=a} - \underbrace{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(bx)}{x}}_{=b} = a-b.$

Resposta: $\boxed{\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(ax) - \sin(bx)}{x} = a-b}.$