Question

$lim_{x =>0} \frac{xcos(x) - ln(1+x)}{x^2}$​

Answer 1

Resposta:

$\purple{\boxed{\green{\boxed{\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x \cos(x) - \ln (1+x)}{x^2} = \red{\boxed{\dfrac{1}{2}}}}}}} \red{\checkmark} \green{\checkmark} \purple{ \checkmark}$

Explicação passo-a-passo:

Tratando-se de limites podemos inicialmente proceder com a substituição directa para a verificação da existência/não de uma indeterminação, portanto teremos,

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x \cos(x) - \ln (1+x)}{x^2} = \bigg[ \red{\dfrac{\: 0 \: }{ 0 }} \bigg]$

NOTA: Temos, portanto, de aplicar certas artimanhas matemáticas, tendo em vista a manipulação da função, uma vez não indicada nenhuma restrição poderíamos proceder com a resolução aplicando a regra de L'HOSPITAL, essa é uma metodologia de resolução comumente aplicada quando encontrado esse tipo de indeterminação, e é bem eficaz, basta que saiba aplicar cálculo diferencial, porém esse método é muito vetado pelos professores devido a sua simplicidade exagerada, portanto eu também não optarei pelo mesmo (ksksks), eu aplicarei séries.

$\ell = \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{x \cos(x) - \ln (1+x)}{x^2}$

$\\ \ell = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[ \dfrac{1}{x^2} \bigg(x \cos(x) - \ln(1 + x) \bigg) \right]$

Pela expansão de $\cos(x)$ por Tylor, temos,

$\green{\star} \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dots + \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{{(2n)!}}$

A série para o logaritmo natural será,

$\green{\star} \ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} + \dots + \displaystyle\sum_{n=0}^{ \infty} (-1)^n \frac{x^{n + 1}}{{n + 1}}$

Deste modo, efectuando as respectivas substituições teremos,

$\ell = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\dfrac{1}{x^2} \left(x - \dfrac{x^3}{2!} + \cancel{ _{\:} \dots{}^{ \: } } - {x} + \dfrac{x^2}{2} - \cancel{ _{\:} \dots{}^{ \: } } \right) \right]$

Observe que todos os termos com expoentes iguais ou superiores a três são nulos quando $x \to 0$, portanto teremos,

$\ell = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[\dfrac{1}{x^2} \left( \cancel{\green{x}} - \dfrac{x^3}{2} - \cancel{\green{x}} + \dfrac{x^2}{2} \right) \right]$

$\\ \ell = \displaystyle\lim_{x \to 0} \left[ \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2} \right]$

$\\ \purple{\boxed{\green{\boxed{\red{\boxed{\ell = \dfrac{1}{2}}}}}}} \red{\checkmark} \green{\checkmark} \purple{ \checkmark}$

(você pode aplicar a regra de L'HOSPITAL também, para confirmar convergência, apesar de o mesmo não apresentar tanta ciência assim, hahaha)

Espero ter colaborado!) $@\underline{\green{\mathbb{ZIBIA}}}$

Answer 2

Resposta:

$\sf{segue \: abaixo \: a \: resposta}$

Explicação passo-a-passo:

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{x. \cos(x) - in(1 + x)}{ {x}^{2} } )}$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \frac{d}{dx} (x. \cos(x ) - in(1 + x)) }{ \frac{d}{dx} ( {x}^{2}) } })$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \cos(x) - x. \sin(x) - \frac{1}{1 + x} } { \frac{d}{dx}( {x}^{2} )} ) }$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \cos(x) - x. \sin(x) - \frac{1}{1 + x} }{2x}) }$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \frac{(1 + x)x \cos(x) - x.(1 + x)x \sin(x) - 1 }{1 + x} }{2x}) }$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{(1 + x)x \cos(x ) - x.(1 + x)x \sin(x) - 1}{(1 + x)x2x} )}$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \frac{d}{dx} ((1 + x)x \cos(x) - x.(1 + x)x \sin(x) - 1 }{ \frac{d}{dx} ((1 + x)x2x)} })$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \cos(x) + (1 + x)x( - \sin(x) ) + ( - 1 - 2x)x \sin(x) - x.(1 + x)x \cos(x) }{ \frac{d}{dx} ((1 + x)x2x)} })$

$\sf{ \frac{lim}{x \rightarrow \: 0} ( \frac{ \cos(x) + (1 + x)x( - \sin(x)) + ( - 1 - 2x)x \sin(x) - x.(1 + x)x \cos(x) }{2 + 4x} })$

$\sf{ \frac{ \cos(0) + (1 + 0)x( - \sin(0)) + ( - 1 - 2x0)x \sin(0 ) - 0(1 + 0)x \cos(0) }{2 + 4x0} })$

$\boxed{\boxed{{\sf{\boxed{\boxed{{\sf{ \frac{1}{2} }}}}}}}}$