Question

$\lim_{t \to \ 9} \frac{\sqrt{t}-3 }{t-9}$

Answer 1

Queremos determinar o valor do limite:

$\lim\limits_{t \to 9} \dfrac{\sqrt{t}-3}{t-9}.$

A substituição direta $t \to 9$ conduz a uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$, pelo que temos de arranjar outra forma de calcular.

Vamos multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador, isto é, por $\sqrt{t}+3$:

$\lim\limits_{t \to 9} \left(\dfrac{\sqrt{t}-3}{t-9} \times \dfrac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}\right).$

Aplicamos agora o caso notável da diferença de quadrados $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$, com $a = \sqrt{t}$ e $b = 3$, o que permite simplificar bastante a expressão:

$\lim\limits_{t \to 9} \dfrac{(\sqrt{t})^2-3^2}{(t-9)(\sqrt{t}+3)} = \lim\limits_{t \to 9} \dfrac{t-9}{(t-9)(\sqrt{t}+3)} = \lim\limits_{t \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{t}+3}.$

A substituição direta $t \to 9$ é agora possível, donde se obtém:

$\lim\limits_{t \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{t}+3} = \dfrac{1}{\sqrt{9}+3} = \dfrac{1}{3+3} = \dfrac{1}{6}.$

Concluímos por fim:

$\boxed{\lim\limits_{t \to 9} \dfrac{\sqrt{t}-3}{t-9} = \dfrac{1}{6}}.$

Answer 2

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por √t + 3.

$\lim{t\to\\9}\frac{\sqrt{t}-3}{t-9}=\lim{t\to\\9}\frac{(\sqrt{t}-3)(\sqrt{t}+3)}{(t-9)(\sqrt{t}+3)}= \lim{t\to\\9}\frac{(t-9)}{(t-9)(\sqrt{t}+3)}= \lim{t\to\\9}\frac{1}{\sqrt{t}+3}=\\\\\frac{1}{\sqrt{9}+3}=\frac{1}{3+3}=\frac{1}{6}$