Question

$\lim_{n \to +\infty} \frac{ \sqrt{x+ \sqrt{x+ \sqrt{x} } } }{x}$

Alguém saberia calcular esse limite, sem usar L'Hôpital?

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + \sqrt{ x + \sqrt{x} }}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x \cdot (1+\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x})}}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x \cdot (1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}})}}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x \cdot (1+\displaystyle \frac{\sqrt{x}}{x})}}{x}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x \cdot (1+\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}})}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{1/2}}{x} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} x^{1/2-1} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} x^{-1/2} \\ \\ \\ \\ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0 \\ \\ \\ \\ ==== \\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x + \sqrt{ x + \sqrt{x} }}}{x}=0}}$

Podemos encontrar esse e diversos outros limites bem interessantes no livro Fundamentos de Matemática Elementar Vol. 8. Até a próxima!