Question

$\lim_{n \to 4} \frac{ x^{3/2} + 2. \sqrt{x} }{x^{5/2}+ \sqrt{x}}$
alguém pode me ajudar?
tentei fazer

$\lim_{n \to 4} \frac{ x^{3/2} + 2. x^{1/2} }{x^{5/2}+ x^{1/2}}$

$\lim_{n \to 4} \frac{ x^{?/?} . (2+x^{?/?}){} }{x^{?/?}.(1+ x^{?/?})}$

se entenderam o meu racicínio, queria saber se é possível resolver dessa forma, e como ficaria a resolução?

agradeço muito pela ajuda =]

Answer 1

Queremos calcular o limite desta função

$f(x)=\dfrac{x^{3/2}+2\sqrt{x}}{x^{5/2}+\sqrt{x}}$

quando $x$ tende a $4.$


Bom, este limite não é uma grande dor de cabeça simplesmente porque a função $f$ está definida em $x_{0}=4\,,$ e é contínua nesse ponto. Portanto,

$\underset{x\to 4}{\mathrm{\ell im}}~f(x)=f(4)\\\\\\ \underset{x\to 4}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x^{3/2}+2\sqrt{x}}{x^{5/2}+\sqrt{x}}=\dfrac{4^{3/2}+2\sqrt{4}}{4^{5/2}+\sqrt{4}}\\\\\\ =\dfrac{2^3+2\cdot 2}{2^5+2}\\\\\\ =\dfrac{8+4}{32+2}\\\\\\ =\dfrac{12}{34}\\\\\\ =\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 6}{\diagup\!\!\!\! 2\cdot 17}\\\\\\ =\dfrac{6}{17}\\\\\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\underset{x\to 4}{\mathrm{\ell im}}~\dfrac{x^{3/2}+2\sqrt{x}}{x^{5/2}+\sqrt{x}}=\dfrac{6}{17} \end{array}}$