Question

$lim \frac{x {}^{4} - 16 }{x - 2}$
Se X->2


Alguém me ajuda. ​

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\lim_{x\to 2}\frac{x {}^{4} - 16 }{x - 2}$

Primeiro vamos substituir o valor a qual o "x" tende e assim descobrir uma certa coisinha:

$\frac{0 {}^{4} - 16 }{0 - 2} = \frac{0}{0}$

Note que surgiu uma Indeterminação do tipo 0/0, então temos que fazer alguma manipulação algébrica para que ela suma. O que podemos fazer é lembrar do seguinte produto notável:

$x {}^{2} - y {}^{2} = (x - y).(x + y)$

Podemos ver esse produto no nosso limite:

$x {}^{4} - 16 =( x {}^{2} ) {}^{2} - (4) {}^{2} = (x {}^{2} + 4).(x {}^{2} - 4)$

Ainda assim podemos continuar no x² - 4:

$x {}^{2} - 4 = (x ){}^{2} - 2 {}^{2} = (x + 2).(x - 2)$

Por fim temos uma nova expressão, substituindo essa expressão na fração do limite:

$\lim_{x\to 2}\frac{(x + 2).(x - 2).(x {}^{2} + 4)}{x - 2}$

Como temos dois termos iguais, podemos cancelá-los:

$\lim_{x\to 2}\frac{(x + 2). \cancel{(x - 2)}.(x {}^{2} + 4)}{ \cancel{x - 2}} \\ \\ \lim_{x\to 2}(x + 2).(x {}^{2} + 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Observe que a indeterminação sumiu, então vamos substituir mais uma vez o valor a qual o "x" tende:

$(x + 2).(x {}^{2} + 4) = (2 + 2).(2 {}^{2} + 4) = 32$

Portando podemos concluir que:

$\boxed{\lim_{x\to 2}\frac{x {}^{4} - 16 }{x - 2} = 32 }$

Espero ter ajudado