Question

$lim (1 +\frac{1}{3n} ) ^{n}$<br />quando n tende para o infinito

Answer 1

Olá companheiro :)
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➢ Limites

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n }$

✦ Sempre que temos um limite para resolver, devemos iniciar aplicando o 
limite, pois nem sempre chegamos a uma indeterminação. 

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{3 \cdot \infty } \right)^{ \infty } }$

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \left( 1 + \dfrac{1}{ \infty } \right)^{ \infty } }$

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \left( 1 + 0 \right)^{ \infty } }$

$\boxed{\boxed{ \mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \left[ 1 \right]^{ \infty } } }}}$

Temos, portanto, um limite notável, onde a indeterminação é do tipo $\mathsf{1^{\infty} }$. O cálculo deste limite é dado por,

$\boxed{\boxed{\mathsf{ \lim_{n \to \infty} (U_n)^{bn} = e^{ \lim_{n \to \infty} (U_n - 1) \cdot bn } } }}}$

Deste modo, para o cálculo do nosso limite teremos,

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \green{e^{ \lim_{n \to \infty} \left( \cancel{1} + \dfrac{1 }{3n} - \cancel{1} \right) \cdot n } }}$

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \gree{e^{ \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1 }{3 \cancel{n}} \right) \cdot \cancel{n} } } }$

$\mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = \green{e^{ \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1 }{3} \right) } }}$

O limite d'uma constante é sempre igual a constante, logo,

$\boxed{\boxed{ \mathsf{ \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{1 }{3n} \right)^n = e^{ \dfrac{1 }{3} }}} }}$

Espero ter colaborado!
Óptimos estudos :)