Question

$\Large\sf(EPCAr\,\normalsize\text{ - }\,\Large\text{ \sf 2021) }\\\\\\\ \Large\text{ \sf Se\ \:\!Y=\dfrac{x^{\frac{3}{2}}+x-x^{\frac{1}{2}}-1}{x+2\sqrt{x}+1}\,,\,com\ x\geqslant0\ \ e\ \ x\neq 1 }\\\\\\\ \Large\sf ,\,ent\tilde{a}o\ Y\ \acute{e}\ igual\ a\\\\\\\\ \Large\text{ \sf a)\ x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}\qquad\qquad\qquad\quad\, c)\ x^{\frac{3}{2}}-1 }\\\\\\\\ \Large\text{ \sf b)\ x-1\qquad\qquad\qquad\qquad\:\! d)\ x^{\frac{1}{2}}-1 }$

Answer 1

⠀⠀O valor de Y se enquadra na alternativa d) $\small\boldsymbol{\sf x^{^1/_2}-1}$.

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Considerações

⠀⠀Desejamos encontrar o valor de Y sabendo que $\scriptsize\text{ \sf Y=\dfrac{x^{^3/_2}+x-x^{^1/_2}-1}{x+2\sqrt{\,x\,}+1} }$ com x ≥ 0 e x ≠ 1. Antes de tudo, vou deixar claro que usamos nessa resolução algumas propriedades da radiciação, descritas abaixo

1. $\small\sf\sqrt[\sf k]{\sf p^q}=p^{^q/_k}$
2. $\small\sf\sqrt[\sf k]{\sf p^k}=p,~ou~(\sqrt[\sf k]{\sf p})^k=p$
3. $\small\sf\sqrt[\sf k]{\sf p}\cdot\sqrt[\sf k]{\sf q}=\sqrt[\sf k]{\sf pq}$

, além disso, fatoração foi uma operação muito necessária no decorrer da resolução.

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Resolução

⠀⠀Inicialmente, por questões de gosto mesmo estarei reescrevendo as potências de expoente fracionário para a forma de radicais, que é o processo inverso da primeira propriedade supracitada no início:

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                                    $\Large\begin{array}{c}\sf Y=\dfrac{x^{^3/_2}+x-x^{^1/_2}-1}{x+2\sqrt{\,x~}+1}\\\\\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x^3\,}+x-\sqrt{\,x\,}-1}{x+2\sqrt{\,x\,}+1}\end{array}$

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⠀⠀(Obs.: lembre-se sempre que, apesar do índice não estar explícito, sabemos que é igual a 2);

⠀⠀Vamos começar a brincadeira pelo denominador dessa fração. Os termos ‘‘2√x’’ e ‘‘1’’ para mim sugerem que essa expressão é um trinômio quadrado perfeito, então ele deve formar um quadrado perfeito — conhecido também como o quadrado da soma de dois termos —, por exemplo: (p + q)² = p² + 2pq + q². Com base nisso temos que:

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                             $\Large\begin{array}{c}\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x^3\,}+x-\sqrt{\,x\,}-1}{(\sqrt{x}\,)^2+2\cdot\sqrt{\,x\,}\cdot1+(1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x^3\,}+x-\sqrt{\,x\,}-1}{(\sqrt{x}+1)^2}\end{array}$

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⠀⠀Então é isso mesmo, pois se você desenvolver esse quadrado irá chegar naquele polinômio de antes.  

⠀⠀Agora vamos brincar no numerador, veja que temos dois radicais de índice iguais a 2, então podemos fazer o processo inverso da terceira propriedade supracitada para termos mais uma raiz quadrada de x e colocá-la em evidência para que, consequentemente, seja possível fatorar por agrupamento:

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                               $\Large\begin{array}{c}\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x^2\,}\cdot\sqrt{\,x\,}+x-\sqrt{\,x\,}-1}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{x\cdot\sqrt{\,x\,}+x-\sqrt{\,x\,}-1}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{\big(x\cdot\sqrt{\,x\,}-1\cdot\sqrt{\,x\,}\,\big)+x-1}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x\,}\cdot(x-1)+x-1}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{\sqrt{\,x\,}\cdot(x-1)+1\cdot(x-1)}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{(\sqrt{\,x\,}+1)\cdot(x-1)}{(\sqrt{\,x\,}+1)^2}\end{array}$

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⠀⠀Dessa forma, veja que no produto desse numerador temos o fator ‘‘√x + 1’’ que é igual ao do denominador, por isso podemos cancelá-los, de modo a encontrar:

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                                     $\Large\begin{array}{c}\sf Y=\dfrac{\cancel{(\sqrt{\,x\,}+1)}\cdot(x-1)}{\cancel{(\sqrt{\,x\,}+1)}\cdot(\sqrt{\,x\,}+1)}\\\\\sf Y=\dfrac{x-1}{\sqrt{\,x\,}+1}\end{array}$

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⠀⠀Estamos quase lá! Agora a fim de tirar a irracionalidade do denominador, vamos racionalizar essa fração pelo conjugado do denominador, de modo que tenhamos:

                                   $\Large\begin{array}{c}\sf Y=\dfrac{x-1}{\sqrt{\,x\,}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{\,x\,}-1}{\sqrt{\,x\,}-1}\\\\\sf Y=\dfrac{(x-1)\cdot(\sqrt{\,x\,}-1)}{(\sqrt{\,x\,}+1)\cdot(\sqrt{\,x\,}-1)}\\\\\sf Y=\dfrac{(x-1)\cdot(\sqrt{\,x\,}-1)}{(\sqrt{\,x\,}\,)^2-(1)^2}\\\\\sf Y=\dfrac{\cancel{(x-1)}\cdot(\sqrt{\,x\,}-1)}{\cancel{x-1}}\\\\\sf Y=\sqrt{\,x\,}-1\end{array}$

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⠀Para reprisar: depois de racionalizar tínhamos no denominador o produto da soma pela diferença de dois termos, onde à seu respeito sabemos que por exemplo (p + q) · (p – q) = p² – q², e ao desenvolvermos aquele produto foi possível cancelar o fatores ‘‘x – 1’’.

⠀⠀Por fim, para determinarmos a alternativa correta vamos reescrever o único radical obtido para a forma de potência de expoente fracionário:

                                                $\Large\qquad\begin{array}{c}\boldsymbol{\boxed{\sf Y=x^{^1/_2}-1}}\end{array}$

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⠀⠀Portanto, o valor algébrico de Y é condizente à alternativa d).

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$\!\!\!\!\Large\boldsymbol{\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}}$

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          $\large\boldsymbol{O\beta r\iota g\alpha d\theta~\rho el\alpha~q\upsilon es\tau\alpha\theta~e~\upsilon m~cord\iota\alpha l~\alpha \beta r\alpha c_{\!\!\!,}\,\theta!~\heartsuit}$