Question

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{\lim_{ x\to - 2} \frac{x + 2}{ \sqrt{x^{2}+5}-3}}\end{gathered} }$​

Answer 1

Depois de substituir o valor de -2 na função, encontramos uma indeterminação do tipo 0/0. Assim, fazendo a racionalização obtemos:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{ \lim _{x \to - 2 } \frac{x + 2}{ \sqrt{x {}^{2} + 5} - 3} \cdot \frac{ \sqrt{x {}^{2} + 5} + 3 }{ \sqrt{x {}^{2} + 5 } + 3 } } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{ \lim _{x \to - 2} \frac{(x + 2)( \sqrt{x {}^{2} + 5 } + 3) }{x {}^{2} + 5 - 9} } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{ \lim _{x \to - 2} \frac{(x + 2)( \sqrt{x { }^{2} + 5} + 3 )}{x {}^{2} - 4} } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{ \lim _{x \to - 2} \frac{(x + 2) (\sqrt{x {}^{2} + 5 } + 3)}{(x + 2)(x - 2)} } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{ \lim _{ x \to - 2 }\frac{ \sqrt{x {}^{2} + 5 } + 3}{x - 2} = \frac{3 + 3}{ - 4} = - \frac{3}{2} } \end{gathered} }$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \huge \boxed{ \boxed{ \boxed{ \boxed{ \rm \huge\displaystyle\text{ \begin{gathered} \rm{\lim_{ x\to - 2} \frac{x + 2}{ \sqrt{x^{2}+5}-3}}\end{gathered} } = - \frac{3}{2} }}}} \end{gathered} }$

Answer 2

Resposta:

-3/2

Explicação passo a passo:

Aplicando direto, encontraremos a indeterminação: $\frac{0}{0}$

Resolvendo a indeterminação por manipulação algébrica:

$\frac{x+2}{\sqrt{x^{2} +5}-3 } . \frac{\sqrt{x^{2} +5} +3}{\sqrt{x^{2} +5} +3} =\frac{(x+2).(\sqrt{x^{2} +5} +3)}{x^{2} +5-9} =\frac{(x+2).(\sqrt{x^{2} +5} +3)}{x^{2} -4}=\frac{(x+2).(\sqrt{x^{2} +5} +3)}{(x+2).(x-2)} = \\ \frac{\sqrt{x^{2} +5} +3}{x-2}$

Aplicando no limite, podemos usar a aplicação direta:

Aplicando x = -2 :

$\frac{\sqrt{(-2)^{2} +5 }+3 }{-2-2} =\frac{\sqrt{9}+3 }{-4} =\frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$