Question

$\large\boxed{ \begin{array}{l} \rm qual \: \acute{e} \: o \: determinante \: da \\ \rm matriz \: abaixo \\ \\ \begin{bmatrix} 1&0&0&3&1 \\0&0 &0&2&0 \\ - 1&0&2&1 &- 2 \\ 3&1&0& - 2& 2 \\ 2&0&1&1&0\end{bmatrix}\end{array}}$
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Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\textsf{Remover 2\ª coluna e 4\ª linha}$

$\begin{bmatrix}\cancel1&\cancel0&\cancel0&\cancel3&\cancel1\\\cancel0&\cancel0&\cancel0&\cancel2&\cancel0\\\cancel-1&\cancel0&\cancel2&\cancel1&\cancel-2\\\cancel3&\cancel1&\cancel0&\cancel-2&\cancel2\\\cancel2&\cancel0&\cancel1&\cancel1&\cancel0\end{bmatrix}$

$\textsf{Remover 2\ª linha e 3\ª coluna}$

$\begin{bmatrix}\cancel1&\cancel0&\cancel3&\cancel1\\\cancel0&\cancel0&\cancel2&\cancel0\\\cancel-1&\cancel2&\cancel1&\cancel-2\\\cancel2&\cancel1&\cancel1&\cancel0\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix}\cancel1&\cancel0&\cancel1\\\cancel-1&\cancel2&\cancel-2\\\cancel2&\cancel1&\cancel0\end{bmatrix}$

$\mathsf{D = (0 + 0 - 1) - (4 - 2 + 0)}$

$\mathsf{D = (-1) - (2)}$

$\mathsf{D = -3}$

$\mathsf{\Delta = 1.(-2).(-3)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\Delta = 6}}}$

Answer 2

Resolução da questão, veja bem.

O determinante dessa matriz é igual a 6.

Para calcularmos o determinante de uma matriz existem variados métodos que podem ser utilizados. Para esse caso em específico, poderíamos usar o teorema de Laplace ou ainda escalonarmos a matriz. Entretanto, optarei por utilizar a regra de Chió. Essa regra, por sua vez, consiste em realizar operações elementares entre as linhas e colunas de uma matriz, de forma a resultar em uma redução de ordem na mesma, facilitando o cálculo do seu determinante.

Para que utilizemos essa metodologia, devemos ter no elemento a₁₁ o número 1, o pivô. Como já temos isso, podemos iniciar a redução de ordem:

• Redução da ordem 5 x 5 para 4 x 4:

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{1}& \sf{0} & \sf{0} & \sf{3} & \sf{1} \\ \sf{0}& \sf{0} & \sf{0} & \sf{2} & \sf{0} \\ \sf{-1}& \sf{0} & \sf{2} & \sf{1} & \sf{-2} \\ \sf{3} & \sf{1} & \sf{0} & \sf{-2} & \sf{2} \\ \sf{2} & \sf{0} & \sf{1} & \sf{1} & \sf{0} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{0-0\cdot 0}& \sf{0-0\cdot 0} & \sf{2-0\cdot 3} & \sf{0-0\cdot 1} \\ \sf{0-(-1)\cdot 0}& \sf{2-(-1)\cdot 0} & \sf{1-(-1)\cdot 3} & \sf{-2-(-1)\cdot 1} \\ \sf{1-3\cdot 0}& \sf{0-3\cdot 0} & \sf{-2-3\cdot 3} & \sf{2-3\cdot 1} \\ \sf{0-2\cdot 0}& \sf{1-2\cdot 0} & \sf{1-2\cdot 3} & \sf{0-2\cdot 1} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{0}&\sf{0} &\sf{2} &\sf{0} \\ \sf{0}&\sf{2} &\sf{4} &\sf{-1} \\ \sf{1}&\sf{0} &\sf{-11} &\sf{-1} \\ \sf{0}&\sf{1} &\sf{-5} &\sf{-2} \\\end{vmatrix}$

Com a matriz de ordem 4 em mãos, vamos reduzi-la a uma matriz de ordem 3. Para tanto, teremos que trocar a linha 1 da matriz pela linha 3, de modo a aparecer o elemento pivô:

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{0} &\sf{-11} &\sf{-1} \\ \sf{0}&\sf{2} &\sf{4} &\sf{-1} \\ \sf{0}&\sf{0} &\sf{2} &\sf{0} \\ \sf{0}&\sf{1} &\sf{-5} &\sf{-2} \\\end{vmatrix}$

Feita esse troca, teremos que a mesma mudará o sinal do determinante ao fim do cálculo.

• Redução da ordem 4 x 4 para ordem 3 x 3

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{1}&\sf{0} &\sf{-11} &\sf{-1} \\ \sf{0}&\sf{2} &\sf{4} &\sf{-1} \\ \sf{0}&\sf{0} &\sf{2} &\sf{0} \\ \sf{0}&\sf{1} &\sf{-5} &\sf{-2} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{2-0\cdot 0}&\sf{4-0\cdot(-11)} &\sf{-1-0\cdot (-1)} \\ \sf{0-0\cdot 0}&\sf{2-0\cdot(-11)} &\sf{0-0\cdot (-1)} \\ \sf{1-0\cdot 0}&\sf{-5-0\cdot(-11)} &\sf{-2-0\cdot (-1)} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{2}& \sf{4} &\sf{-1}\\ \sf{0} & \sf{2} & \sf{0} \\ \sf{1} &\sf{-5}& \sf{-2} \\\end{vmatrix}$

Com a matriz de ordem 3 em mãos, vamos reduzi-la a uma matriz de ordem 2. Para tanto, teremos que trocar a linha 1 da matriz pela linha 3, de modo a aparecer o elemento pivô:

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{1}& \sf{-5} &\sf{-2}\\ \sf{0} & \sf{2} & \sf{0} \\ \sf{2} &\sf{4}& \sf{-1} \\\end{vmatrix}$

Feita esse troca, teremos que a mesma mudará o sinal do determinante ao fim do cálculo.

• Redução da ordem 3 x 3 para ordem 2 x 2

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{1}& \sf{-5} &\sf{-2}\\ \sf{0} & \sf{2} & \sf{0} \\ \sf{2} &\sf{4}& \sf{-1} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix} \sf{2-0\cdot(-5)}&\sf{0-0\cdot(-2)} \\ \sf{4-2\cdot(-5)}&\sf{-1-2\cdot(-2)} \\\end{vmatrix}$

$\sf{A=}\begin{vmatrix}\sf{2} & \sf{0} \\ \sf{14} &\sf{3} \\\end{vmatrix}$

Pronto, reduzimos a matriz de ordem 5 dada inicialmente, a uma matriz de ordem 2, a qual o determinante é calculado de forma trivial.

Observando a matriz de ordem 2 encontrada, concluímos que o determinante da mesma vale:

$\sf{A=}\begin{vmatrix}\sf{2} & \sf{0} \\ \sf{14} &\sf{3} \\\end{vmatrix}=>\sf{|A|=0\cdot14+2\cdot3}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{|A|=6}}}~\checkmark~$

Quanto as nossas trocas de sinais citadas anteriormente, as mesmas nem serão necessárias, isso pois se trocarmos duas vezes o sinal do valor encontrado, teremos o mesmo sinal. Desse modo, o determinante da matriz dada realmente é igual a 6.

Espero que te ajude!!

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