Question

$<var>\int{sen^{3}(x)\,dx</var>$

Answer 1

pow, essa é chata mas vamos lá!

integral sen^3(x)dx = integral sen^2(x)*sen(x) dx 

Olhe propriedades trigonométricas, você verá que sen^2(x) = 1-cos^2(x) 
substituindo temos:

integral [(1-cos^2(x)) * sen(x)] dx (multiplique como uma fração)

integral [sen(x) - cos^2(x) * sen(x)] dx 

integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx (I) (separe sempre que tiver - ou + entre elas)

integral cos^2(x) * sen(x) dx (II) 

Resolvendo (II) por substituição: 
u = cos(x)
du = -sen(x) dx 

Substituindo em (II): 
- integral u² du = - u^3/3 = -cos^3(X)/3 + c 

Substituindo em (I): 
integral sen(x) dx - integral cos^2(x) * sen(x) dx 

-cos(x) + cos^3(x)/3 + c  e terminamos por aqui!

Answer 2

$\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=\int{\sin}^{2}(x).\sin(x)dx}\\\mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}$$u=\cos(x)\to-du=\sin(x)dx$

$\mathsf{\int({\cos}^{2}(x)-1).\sin(x)dx}\\ = \mathsf{-\int({u}^{2}-1)du} = \mathsf{-\dfrac{1}{3} {u}^{3} + u + c }$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\int{\sin}^{3}(x)dx=-\dfrac{1}{3}{\cos}^{3}(x)+\cos(x)+c}}}$