Question

$\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {sen(0,5x)} \, dx$

Answer 1

Resposta:

$\int\limits^{{\frac{\pi}{2}}}_0 {\text{sen}}(0,5x) \, \text{d}x \approx 0.585786$

Explicação passo-a-passo:

Para resolver essa integral, basta lembrar que a integral indefinida do sen é -cos, isto é: $\int \text{sen}(x)\,\text{d}x = -\text{cos}(x)$, Por outro lado, se x estiver multiplicado por uma constante, então basta usar mudança de variável para mostrar que:

$\int \text{sen}(ax)\,\text{d}x = -\frac{1}{a}\text{cos}(ax), \ \forall a \neq 0$. No nosso caso, a = 0,5 = 1/2.

Logo, temos o seguinte:

$\int\limits^{{\frac{\pi}{2}}}_0 {\text{sen}}(0,5x) \, \text{d}x = -\frac{1}{0,5}\text{cos}(0,5x)|\limits_0^{{\frac{\pi}{2}}}$,

$-\frac{1}{0,5}\text{cos}(0,5x)|\limits_0^{{\frac{\pi}{2}}} = -2\cdot[\text{cos}(0,5\cdot{\frac{\pi}{2}}) - \text{cos}(0,5\cdot0)] = -2\cdot[\text{cos}(\frac{\pi}{4}) - \text{cos}(0)]$,

$-2\cdot[\text{cos}(\frac{\pi}{4}) - \text{cos}(0)] = -2\cdot(\frac{\sqrt{2}}{2} - 1) = 2-\sqrt{2} \approx0.585786$.