Question

$\int\limits^a_b {x} \, dx x^{2} \sqrt{ 4- x^{2}$

Answer 1

$\int\limits^._. { x^{2} \sqrt{4- x^{2} } } \, dx$

analogia : u = √4-x²  ---> u² = 4-x²
                                    x² = 4-u²
               x² dx = (4-u²) du
                   dx = (4-u²) du / x²
subtitution :
$\int\limits^._. { x^{2} .u } \, \frac{(4- u^{2})du }{ x^{2} }$

$\int\limits^._. {u (4- u^{2}) } \, du = \int\limits^._. {(4u- u^{3}) } \, du$

                          = $2u^{2}- \frac{1}{4} u^{4}$

                          = $2 (4- x^{2} )- \frac{1}{4} ( 4- x^{2} )^{2}$
      
                          = $8-2 x^{2} - \frac{1}{4}(16-8 x^{2} + x^{4} )$
 
                          = $8- 2x^{2} -4+2 x^{2} - \frac{1}{4} x^{4}$

                         = $-\frac{1}{4} x^{4}+4$ + C