Question

$\int\limits^1_0 {\frac{4x}{2x^{2}+3 } } \, dx$

Answer 1

Resposta:

0 a 1 ∫ 4x/(2x²+3)  dx

Fazendo u=2x²+3  ==>du=4x dx

0 a 1 ∫ 4x/(u)  du/4x

0 a 1 ∫ 1/(u)  du

0 a 1 [ ln(u) ]

sabemos que u=2x²+3

0 a 1 [ ln (2x²+3]

=ln (2*1²+3) - ln (2*0²+3)

= ln (5) -log(3)

=ln (5/3)  ~   0,510825

Answer 2

Temos a seguinte integral definida:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf \: \: \: \: \: \bullet \: \int \limits_{0}^{1} \frac{4x}{2x {}^{2} + 3} dx \: \: \bullet$

• Para resolver esta integral, vamos usar o método da substituição de variável. Este método consiste em você analisar as expressões e observar se há uma função e a sua derivada dentro da expressão.

Inicialmente vamos nomear a expressão do numerador de uma variável "u":

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf u = 2x {}^{2} + 3$

Tendo nomeado a função, vamos derivá-la:

$\: \: \: \sf \frac{du}{dx} = 2.2x + 0 \: \: \to \: \: \frac{du}{dx} = 4x \\ \\ \boxed{ \sf du = 4xdx}$

Substituindo estas novas expressões, temos:

$\: \: \: \: \: \sf \int \limits_{0}^{1} \frac{4x}{2x {}^{2} + 3} dx \: \: \to \: \: \int \limits_{0}^{1} \frac{du}{u}$

Esta integral possui um valor conhecido, que é o logaritmo natural, portanto:

$\sf \int \limits_{0}^{1} \frac{du}{u} = ln( |u| ) \bigg| _{0}^{1}, \: mas \: u = 2x {}^{2} + 3 \\ \\ \sf ln( |2x {}^{2} + 3 | )\bigg| _{0}^{1}$

Substituindo os limites de integração através do Teorema Fundamental do Cálculo:

$\: \: \: \: \: \sf ln( |2.1 {}^{2} + 3| ) - ln(2.0 {}^{2} + 3) \\ \: \: \: \: \sf ln( |2 + 3| ) - ln( |3| ) \\ \sf ln( |5| ) - ln( |3| ) \\ \boxed{\sf ln \left( \frac{5}{3} \right)}$

Portanto, temos que a resposta é:

$\: \: \: \: \boxed{ \sf \: \bullet \: \: \int \limits_{0}^{1} \frac{4x}{2x {}^{2} + 3} dx = ln \left( \frac{5}{3} \right) \: \: \bullet}$

Espero ter ajudado