Matemática, perguntado por delianapontes, 4 meses atrás

\int\limits^1_0 {\frac{4x}{2x^{2}+3 } } \, dx

Soluções para a tarefa

Respondido por EinsteindoYahoo
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Resposta:

0 a 1 ∫ 4x/(2x²+3)  dx

Fazendo u=2x²+3  ==>du=4x dx

0 a 1 ∫ 4x/(u)  du/4x

0 a 1 ∫ 1/(u)  du

0 a 1 [ ln(u) ]

sabemos que u=2x²+3

0 a 1 [ ln (2x²+3]

=ln (2*1²+3) - ln (2*0²+3)

= ln (5) -log(3)

=ln (5/3)  ~   0,510825

Respondido por Vicktoras
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Temos a seguinte integral definida:

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \sf  \:  \:  \:  \:  \:  \bullet \:  \int \limits_{0}^{1}  \frac{4x}{2x {}^{2}  + 3} dx  \:   \: \bullet \\

  • Para resolver esta integral, vamos usar o método da substituição de variável. Este método consiste em você analisar as expressões e observar se há uma função e a sua derivada dentro da expressão.

Inicialmente vamos nomear a expressão do numerador de uma variável "u":

  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \:  \: \sf u = 2x {}^{2}  + 3

Tendo nomeado a função, vamos derivá-la:

  \:  \:    \: \sf  \frac{du}{dx}  = 2.2x  + 0 \:  \:  \to \:  \:  \frac{du}{dx} = 4x \\  \\ \boxed{   \sf  du = 4xdx}

Substituindo estas novas expressões, temos:

 \:  \:  \:  \:  \:  \sf  \int \limits_{0}^{1}  \frac{4x}{2x {}^{2}  + 3} dx   \:  \:  \to \:  \:  \int \limits_{0}^{1}  \frac{du}{u}  \\

Esta integral possui um valor conhecido, que é o logaritmo natural, portanto:

 \sf  \int \limits_{0}^{1}  \frac{du}{u}  =  ln( |u| ) \bigg| _{0}^{1},  \: mas \: u = 2x {}^{2} + 3 \\  \\   \sf ln( |2x {}^{2} + 3 | )\bigg| _{0}^{1}

Substituindo os limites de integração através do Teorema Fundamental do Cálculo:

  \:  \:  \:  \:  \:   \sf ln( |2.1 {}^{2}  + 3| ) -  ln(2.0 {}^{2}  + 3) \\ \:  \:  \:  \:   \sf ln( |2 + 3| ) -  ln( |3| ) \\  \sf ln( |5| ) - ln( |3| ) \\   \boxed{\sf ln \left( \frac{5}{3}  \right)}

Portanto, temos que a resposta é:

  \:  \: \:  \:  \boxed{  \sf \:  \bullet \:  \:   \int \limits_{0}^{1}  \frac{4x}{2x {}^{2}  + 3} dx  =  ln \left(  \frac{5}{3}   \right) \:   \: \bullet}  \\

Espero ter ajudado

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