Question

$\int\limits^0_1 {\frac{1,13}{x^2+6x+13} } \, dx$
Ajuda eu aí crânios

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta integral, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int_1^0\dfrac{1.13}{x^2+6x+13}\,dx}$

Podemos reescrever seus limites de integração, lembrando que $\boxed{\displaystyle{\int_b^a f(x)\,dx\Leftrightarrow -\int_a^b f(x)\,dx}}$.

Então, teremos:

$\displaystyle{-\int_0^1\dfrac{1.13}{x^2+6x+13}\,dx}$

Aplique a propriedade da constante: $\boxed{\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}}$

$-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{x^2+6x+13}}$.

Reescreva o denominador da seguinte forma: $\dfrac{1}{x^2+6x+13}=\dfrac{1}{(x+3)^2+4}$

Assim, a integral se torna:

$-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{(x+3)^2+4}}$.

Lembre-se que $\displaystyle{\int\dfrac{dx}{x^2+c^2}=\dfrac{1}{c}\cdot\arctan\left(\dfrac{x}{c}\right)}$, logo teremos:

$-1.13\cdot\displaystyle{\int_0^1\dfrac{dx}{(x+3)^2+2^2}}\\\\\\ -1.13\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{x+3}{2}\right)~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)}$.

$-1.13\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(\arctan\left(\dfrac{1+3}{2}\right)-\arctan\left(\dfrac{0+3}{2}\right)\right)$

Some os valores e simplifique a fração. Multiplique os valores.

$-\dfrac{1.13}{2}\cdot\left(\arctan(2)-\arctan\left(\dfrac{3}{2}\right)\right)$.

Sabendo que $\arctan(x)-\arctan(y)=\arctan\left(\dfrac{x-y}{1+x\cdot y}\right)$, teremos:

$-\dfrac{1.13}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{2-\dfrac{3}{2}}{1+2\cdot\dfrac{3}{2}}\right)$

Some os valores

$-\dfrac{1.13}{2}\cdot\arctan\left(\dfrac{1}{8}\right)$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

Olá, siga a explicação:

$\boxed {\displaystyle \int\limits^a_b f(x) \: dx = - \displaystyle \int\limits^a_b f(x) \: dx, a <b } \\ \\ \\ = \displaystyle - \int\limits^1_0 \dfrac{1,13}{x^2 + 6x + 13} dx$

Remover a constante:

$\boxed {\displaystyle \int\limits a \cdot f(x) dx= a \cdot \displaystyle \int\limits f(x) dx} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^1_0 \dfrac{1}{x^2 + 6x+ 13} dx$

Completar o quadrado:

$\boxed {x^2 + 6x+13: \:\:\:\:\:\:\:\:(x+3)^2 + 4} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^1_0 \dfrac{1}{(x+3)^2 +4} dx$

Aplicar integração por substituição:

$\boxed {u= x+3 }\\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^4_3 \dfrac{1}{u^2 + 4} du$

Adotar integração por substituição:

$\boxed {u=2v}\\ \\ \\= -1,13 \cdot \displaystyle \int\limits^2_\frac{3}{2} \dfrac{1}{2(v^2+1)} dv$

Remover a constante:

$\boxed {\displaystyle \int\limits a \cdot f(x) dx= a \cdot \displaystyle \int\limits f(x) dx} \\ \\ \\= -1,13 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle \int\limits^2_\frac{3}{2} \dfrac{1}{v^2+1} dv$

Regras De Integração:

$\boxed {\displaystyle \int\limits \dfrac{1}{v^2+1 } = \displaystyle {arctan (v)} }\\ \\ \\= -1,13 \cdot \dfrac{1}{2} [arctan (v) ]^2 _\frac{3}{2}$

Simplificar:

$\boxed {-1,13 \cdot \dfrac{1}{2} [arctan (v) ]^2 _\frac{3}{2} : \:\:\:\:\:-0,565 [arctan (v) ]^2_{1,5} }$

Calcular os limites:

$\boxed {[ arctan (v) ] ^2_{1,5} \: \: \: = 0,12435..} \\ \\ \\-0,565 \cdot 0,12435 ...$

Simplifica:

$\boxed {=-0,07026}$

• Att. MatiasHP