Matemática, perguntado por friginieduardo07, 4 meses atrás

\int\limits^∞_0 {1÷(2x+1)³} \, dx

Soluções para a tarefa

Respondido por Skoy
6

Ficou um pouco confuso de entender a sua questão, mas acredito que você deseje calcular a seguinte integral impropria:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \int_0^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3}\ dx \end{gathered}$}

Caso essa não for a integral que você deseja, pode me chamar nos comentários. Mas supondo que seja essa integral, podemos começar aplicando uma substituição simples, fazendo então:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  u= 2x+1\end{gathered}$}

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  du= 2 dx\end{gathered}$}

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  \frac{du}{2}=  dx\end{gathered}$}

E claro, quando trabalhamos com integrais que tenham limites de integração, devemos sempre após realizar uma substituição ver os "novos limites de integração".

  • Quando \large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x=\infty \end{gathered}$} : \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt u=2\cdot\infty+1=\infty\ \ \end{gathered}$}\ \ \square\kern-6.5pt\raisebox{-1pt}{$\rule{6pt}{1pt}$}\kern-0.2pt\raisebox{-1pt}{$\rule{1pt}{7pt}$}
  • Quando \large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt x=0 \end{gathered}$} : \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \tt u=2\cdot0+1=1\ \ \end{gathered}$}\ \ \square\kern-6.5pt\raisebox{-1pt}{$\rule{6pt}{1pt}$}\kern-0.2pt\raisebox{-1pt}{$\rule{1pt}{7pt}$}

Com isso, temos que aquela integral é igual a seguinte integral:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} \frac{1}{u^3}\ \cdot\frac{du}{2}  \end{gathered}$}

E pela lineariedade:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty} \int_1^{b} u^{-3}\ du \end{gathered}$}

Aplicando agora a propriedade de integração do monômio, dada da seguinte forma:

  \Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\tt \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1} +C\ ,\ \forall n\neq-1}\end{gathered}$}

Destarte, surge que:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty}\left.\left( -\frac{1}{2u^2}\right) \right|_1^{b}\end{gathered}$}

Aplicando agora o teorema fundamental do cálculo:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt  \frac{1}{2}\cdot \lim_{b \to \infty}-\frac{1}{2b^2}-\left( -\frac{1}{2} \right)\end{gathered}$}

Que simplificando, chegamos em:

\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\tt \int_0^{\infty} \frac{1}{(2x+1)^3}\ dx =\frac{1}{4}\end{gathered}$}

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