Question

$\int\ (e^{ax} +e^{-ax})^2 dx$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo da integral

Dada a integral :

$\displaystyle \int \sf{ \left( e^{ax} + e^{-ax} \right)^2dx }$

Vamos desenvolver o binómio :

$\sf{I~=~} \displaystyle\int\sf{ \left( (e^{ax})^2 + 2*e^{ax}*e^{-ax} + (e^{-ax})^2 \right)dx }$

$\sf{ I~=~} \displaystyle\int \sf{ \left( e^{2ax} + 2*e^{0} + e^{-2ax} \right)dx }$

Sabe-se que a integral da soma é a soma das integrais, então :

$\sf{ I~=~ }\displaystyle\int \sf{ e^{2ax} dx } + \int \sf{ e^{-2ax}dx } + \int \sf{2dx}$

Vamos completar as derivadas :

$\sf{ I~=~ } \sf{\dfrac{1}{2a}}\displaystyle \int \sf{2a*e^{2ax}dx} - \sf{ \dfrac{1}{2a}}\int \sf{ -2a*e^{-2ax}dx } \sf{ +2x }$

Então :

$\sf{ I~=~ \dfrac{1}{2a}*e^{2ax} - \dfrac{1}{2a}*e^{-2ax} + 2x }$

$\green{ \boxed{ \boxed{ \sf{ I~=~ \dfrac{1}{2a}\left( e^{2ax} - e^{-2ax} \right) + 2x + k, ~k\in \mathbb{R} } } } \sf{ \longleftarrow Resposta } }$

Espero ter ajudado bastante!)