Question

$\int\ {cos^{2} (x) * cos^{2} (x)} \, dx$

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \sf\int\ {cos^{2} (x) .cos^{2} (x)} dx$

Em integrais do tipo:

$\: \: \sf \int sen {}^{n} (x) \: dx \: \: ou \: \: \int cos^{n} (x ) \: dx \\ \\ \begin{cases} \sf n \: \acute{i}mpar : \: sen^{2} (x) + cos^{2}(x) = 1 \\ \\ \sf n \: par : \begin{cases} \sf sen^{2} (x) = \frac{1 - cos(2x)}{2} \\ \\ \sf cos ^{2}(x) = \frac{1 + cos(2x)}{2} \end{cases}\end{cases}$

Como o expoente do cosseno é par, devemos utilizar a substituição informada acima. Substituindo esta informação na integral.

$\sf \int \left( \frac{1 + cos(2x)}{2} \right).\left( \frac{1 + cos(2x)}{2} \right)dx \\ \\ \sf \int \frac{1}{2} .(1 + cos(2x)). \frac{1}{2} (1 + cos(2x)) \: dx \\ \\ \sf \frac{1}{4} \int (1 + cos(2x)).(1 + cos(2x)) \: dx \\ \\ \sf \frac{1}{4} \int 1 + 2cos(2x) + cos {}^{2} (2x) \: dx \: \: \: \: \: \:$

A integral da soma de funções é igual a soma das integrais, então:

$\sf \frac{1}{4} \int 1 \: dx + \frac{1}{4} \int 2cos(2x) \: dx + \frac{1}{4} \int cos^{2} (2x) \: dx \\ \\ \sf \frac{1}{4} \int 1 \: dx + \frac{1}{2} \int cos(2x) \: dx + \frac{1}{4} \int cos^{2} (2x) \: dx$

Para facilitar o entendimento, vamos resolver cada uma das integrais separadamente.

• Primeira integral:

$\sf \frac{1}{4} \int 1 \: dx = \frac{1}{4} .x + c$

• Segunda integral:

$\sf \frac{1}{2} \int cos(2x)dx \: \to \: \: u = 2x \: \: e \: \: dx = \frac{du}{2} \\ \\ \sf \frac{1}{2} \int cos(u). \frac{du}{2} \: \to \: \frac{1}{4} \int cos(u) du \\ \\ \sf \frac{1}{4} .(sin(2x)) + c$

• Terceira integral:

$\sf \frac{1}{4} \int cos^{2} (2x) \: dx \: \: \to \: \: \frac{1}{4} \int \left( \frac{1 + cos(4x)}{2} \right) \: dx \\ \\ \sf \frac{1}{4} \int \frac{1}{2} .(1 + cos(4x)) \: dx \: \: \to \: \: \frac{1}{8} \int 1 + cos(4x) \: dx \\ \\ \sf \frac{1}{8} \int 1 \: dx + \frac{1}{8} \int cos(4x) \: dx \: \: \to \: \: \frac{1}{8} .x + \frac{1}{8} \int cos(4x) \: dx$

Resolvendo a outra integral por substituição.

$\sf\frac{1}{8} \int cos(4x) \: dx \: \: \to \: \: u = 4x \: \: e \: \: dx = \frac{du}{4} \\ \\ \sf \frac{1}{8} \int cos(u). \frac{du}{4} \: \: \to \: \: \frac{1}{32} \int cos(u)du \\ \\ \sf \frac{1}{32} .sen(4x)$

Portanto temos que a terceira integral é igual a:

$\sf\int cos ^{2} (2x)dx = \frac{x}{8} + \frac{sen(4x)}{32} + c$

Juntando todos esses dados, temos que a resposta final é dada por:

$\sf \int cos^{2} (x).cos^{2} (x) \:dx = \frac{x}{4} + \frac{sen(2x)}{4} + \frac{x}{8} + \frac{sen(4x)}{32} \\ \\ \sf \int cos^{2} (x).cos^{2} (x) \:dx = \frac{8x + 4x}{32} + \frac{sen(2x)}{4} + \frac{sen(4x)}{32} \\ \\ \boxed{ \boxed{ \sf \int cos^{2} (x).cos^{2} (x) \:dx = \frac{3x}{8} + \frac{sen(2x)}{4} + \frac{sen(4x)}{32} + c}}$

Espero ter ajudado