Question

$\huge \boxed{ \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow0}{lim } \: \dfrac{x}{sen \: x} \end{array}}$
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Answer 1

✅ O limite da função é igual a 1

⚠️ Nesse tipo de exercício, devemos contar com a ajuda de algumas manipulações algébricas, relembrando também das propriedades da potenciação, acompanhe:

Nosso objetivo é eliminar a indeterminação!

1° Passo

Aplique a propriedade da potenciação no limite:

$(\frac{a}{b} ) ^{n} = (\frac{b}{a} ) ^{ - n}$

${ \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow0}{lim } \: \left[ \dfrac{ \sin(x) }{x} \right]^{ - 1} \end{array}}$

2° Passo

Use a propriedade do limite:

${ \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow \: c}{lim } \: \left[ f(x) \right]^{ a} \end{array}} = \left[ { \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow \: c}{lim } \: \left[ f(x) \right] \end{array}}\right]^{ a}$

$\left[ { \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow0}{lim } \: \left[ \dfrac{ \sin(x) }{x} \right] \end{array}}\right]^{ - 1}$

3° Passo

Avaliando como um limite comum, substituindo as incógnitas por 0, temos:

$\left[ { \begin{array}{l} \rm \underset{x\rightarrow0}{lim } \: \left[ \dfrac{ \sin(x) }{x} \right] \end{array}}\right]^{ - 1} = {1}^{ - 1}$

4° Passo

Resolvendo a potenciação de 1 elevado a qualquer valor, resultamos:

${1}^{ - 1} = 1$

Logo, provamos que o limite é 1

Bons estudos! ☄️