Question

$\huge\begin{array}{l}\mathsf{Resolver~a~equa\c{c}\~ao:}\\\\\mathsf{x^{\ell og^2_2x^2-\ell og_2(2x)-2}+(x+2)^{\ell og_{(x+2)^2}4}=3}\end{array}$


*Equação logarítmica, logaritmo, log*

Answer 1

 Quanto ao expoente do primeiro termo:

$\\ \mathsf{\log^2_2 x^2 - \log_2 (2x) - 2 =} \\\\ \mathsf{[\log_2 (x^2)]^2 - \log_2 (2x) - 2 =} \\\\ \mathsf{\log_2 (x^2) \cdot \log_2 (x^2) - \log_2 (2 \cdot x) - 2 =} \\\\ \mathsf{2 \cdot \log_2 x \cdot 2 \cdot \log_2 x - (\log_2 2 + \log_2 x) - 2 =} \\\\ \mathsf{4 \cdot (\log_2 x)^2 - 1 - \log_2 x - 2 =} \\\\ \mathsf{4 \cdot (\log_2 x)^2 - \log_2 x - 3 =}$

$\\ \mathsf{4 \cdot (\log_2 x)^2 - \log_2 x - 3 =} \\\\ \mathsf{4 \cdot (\log_2 x)^2 - 4 \log_2 x + 3 \cdot \log_2 x - 3 =} \\\\ \mathsf{4 \cdot \log_2 x \cdot (\log_2 x - 1) + 3 \cdot (\log_2 x - 1) =} \\\\ \mathsf{(\log_2 x - 1) \cdot \left [ 4 \cdot \log_2 x + 3 \right ]}$

 Por conseguinte, o segundo termo:

$\\ \mathsf{(x + 2)^{\log_{(x + 2)^2} 4} =} \\\\ \mathsf{(x + 2)^{\log_{(x + 2)^2} 2^2} =} \\\\ \mathsf{(x + 2)^{\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \log_{(x + 2)} 2} =} \\\\ \mathsf{(x + 2)^{\log_{(x + 2)} 2} =} \\\\ \mathsf{2}$

$\mathsf{Obs^1.: \ a^{\log_a b} = \lambda \Rightarrow \log_a \lambda = \log_a b \Rightarrow \boxed{\mathsf{\lambda = b}}}$
 
 Daí,

$\\ \mathsf{x^{\log^2_2 x^2 - \log_2 (2x) - 2} + (x + 2)^{\log_{(x + 2)^2} 4} = 3} \\\\ \mathsf{x^{(\log_2 x - 1) \cdot (4 \cdot \log_2 x + 3)} + 2 = 3} \\\\ \mathsf{x^{(\log_2 x - 1) \cdot (4 \cdot \log_2 x + 3)} = 1}$

 Bom! de acordo com a condição de existência, $\underline{\mathsf{x > 0}}$. Isto posto, a equação será verdadeira quando os expoentes forem nulos e a base for UM. Segue,

$\\ \bullet \qquad \mathsf{Fator \ (\log_2 x - 1) \ nulo:} \\\\ \mathsf{\log_2 x - 1 = 0} \\\\ \mathsf{\log_2 x = 1} \\\\ \mathsf{2^1 = x} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 2}}}$

$\\ \bullet \bullet \qquad \mathsf{Fator \ (4 \cdot \log_2 x + 3) \ nulo:} \\\\ \mathsf{4 \cdot \log_2 x + 3 = 0} \\\\ \mathsf{4 \cdot \log_2 x = - 3} \\\\ \mathsf{\log_2 x = - \frac{3}{4}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 2^{- \frac{3}{4}}}}}$

$\\ \bullet \bullet \bullet \qquad \mathsf{Base \ unit\acute{a}ria:} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x = 1}}}$

Answer 2

Equação logarítmica !

Dada a equação :

$\mathtt{ x^{ \log^2_{2} x^2 - \log_{2} 2x - 2} + (x + 2)^{ \log_{(x + 2)^2} 4 }~=~ 3 }$

Aplicando algumas regras dos logarítmos , podemos ter :

$\mathtt{ x^{ ( \log_{2} x^2 )^2 - ( \log_{2} 2 + \log_{2} x) - 2 } + (x + 2)^{ \log_{(x + 2)} \sqrt{4} }~=~3 }$

Rearranjando a expressão :

$\mathtt{ x^{ (2\log_{2} x^2 )^2 - ( 1 + \log_{2} x) - 2 } + 2~=~3 }$

$\mathtt{ x^{4\log^2_{2} x^2 - \log_{2} x - 3 } ~=~ 1 }$

$\mathtt{ \cancel{x}^{4\log^2_{2} x^2 - \log_{2} x - 3 }~=~ \cancel{x}^0 }$

$\boxed{\boxed{ \mathtt{ \red{ 4\log^2_{2} x^2 - \log_{2} x - 3~=~ 0 } } } }$

$\mathtt{Coeficientes : } \begin{cases} \mathtt{ a~=~4 } \\ \\ \mathtt{ b~=~-1 } \\ \\ \mathtt{ c~=~-3 } \end{cases}$

$\mathtt{ \huge{ \red{ ~~~~~~~~~~~BHASKARA : } } }$

$\mathtt{ \log_{2} x~=~ \dfrac{-b\pm \sqrt{ \Delta } }{2a } }$ , Onde :

∆ = b² - 4ac

$\boxed{\boxed{\mathtt{ \blue{ \log_{2} x ~=~ \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} } } } }$

$\mathtt{ \log_{2} x ~=~ \dfrac{-(-1) \pm \sqrt{ (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) } }{2\cdot 4 } }$

$\mathtt{ \log_{2} x~=~ \dfrac{1 \pm\sqrt{49} }{8}~=~ \dfrac{1\pm 7}{8} }$

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x~=~\dfrac{1+7}{8}~=~ \dfrac{8}{8} } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} x~=~ \dfrac{1-7}~=~-\dfrac{6}{8} } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ \log_{2} x~=~1\iff 2^1~=~x } \\ \\ \mathtt{ \log_{2} x~=~-\dfrac{3}{4} \iff 2^{-\frac{3}{4}} } \end{cases}$

$\begin{cases} \mathtt{ x~=~2 } \\ \\ \mathtt{ x~=~\dfrac{1}{2^{\frac{3}{4}}}~=~\sqrt[4]{2^3} } \end{cases}$

$\begin{cases} \boxed{\mathtt{\green{x_{1}~=~2} } } \\ \\ \boxed{\mathtt{\green{ x_{2}~= \sqrt[4]{8} } } } \end{cases}$

Espero ter ajudado bastante!)